动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 34 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 6 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 34 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 28 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 28 m/s²t₁ = 2 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 25 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 5 m/sd = 25 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 11.5 m/s 的速度开始沿 20° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 11.5 m/sθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 14 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶部以 30 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 30 m/sθ = 55°h = 20 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 45 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 45 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.2 kg 的球系在长 0.8 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 8 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.2 kgr = 0.8 mv_bottom = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.4。求它沿斜面滑行 9 m 后的速度 v。

θ = 45°μ = 0.4d = 9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 3 mL = 3.5 mμ = 0.25k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 17 m/s 水平运动的 14 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。4 kg 的碎片以 66 m/s 继续向前运动。求 10 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 14 kgu = 17 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 66 m/sm₂ = 10 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1600 kg 的汽车撞上一辆停放的 1400 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 9 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1600 kgm₂ = 1400 kgd = 9 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

质量为 5 kg、长为 2 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间销钉对杆的竖直力 R。

m = 5 kgL = 2 mg = 9.81 m/s²

R = N

14.刚体转动困难

质量为 5.5 kg、长为 0.5 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 15 g 的子弹以 160 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.3 m 处并留在杆中。求撞击后瞬间杆的角速度 ω。

M = 5.5 kgL = 0.5 mm = 15 gv = 160 m/sd = 0.3 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 93.75 mm。须用一对模数为 2.5 mm、减速比为 4 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。大齿轮须有多少个齿 N₂？

a = 93.75 mmm = 2.5 mmi = 4

N₂ =

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（20 齿）以 2900 rpm 转动，驱动齿轮 B（80 齿）。齿轮 C（20 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（48 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 2900 rpmA = 20B = 80C = 20D = 48

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.7 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.7 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个 1.6 kg 的物体连在 k = 240 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 19 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 1.6 kgk = 240 N/mA = 19 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 12 kg 的质量块挂在刚度为 25 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.35。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 12 kgk = 25 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 5 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 5 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: t = 11.33 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·34/6 = 11.33 s

答案

t = 11.33 s

此时警车的速度为 2v = 68 m/s。

2.运动学

答案: h_max = 215.8 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 28·2 = 56 m/s

h₁ = ½·28·2² = 56 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 56²/(2·9.81) = 159.8 m

h_max = 56 + 159.8 = 215.8 m

答案

h_max = 215.8 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.05097

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 5²/(2·25) = 0.5 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.5/9.81 = 0.05097

答案

μ = 0.05097

4.牛顿定律

答案: d = 11.68 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 20° + 0.25·cos 20°) = 5.66 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 11.5²/(2·5.66) = 11.68 m

答案

d = 11.68 m

5.抛体运动

答案: x = 18.77 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 55° = 8.03 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 55° = 11.47 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·11.47/9.81 = 2.338 s

水平距离

x = v_x·t = 8.03·2.338 = 18.77 m

答案

x = 18.77 m

6.抛体运动

答案: α = 61.4 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 30·cos 55° = 17.21 m/s

v_y0 = 30·sin 55° = 24.57 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(24.57² + 2·9.81·20) = 31.56 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 31.56/17.21 → α = 61.4°

答案

α = 61.4°

7.圆周运动

答案: v_max = 16.27 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·45) = 16.27 m/s

答案

v_max = 16.27 m/s (58.59 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 6.19 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 8² − 4·9.81·0.8 = 32.61 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.2·32.61/0.8 − 0.2·9.81 = 6.19 N

答案

T_top = 6.19 N

9.功和能

答案: v = 8.655 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·9·(0.7071 − 0.4·0.7071)) = 8.655 m/s

答案

v = 8.655 m/s

10.功和能

答案: x = 20.42 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(3 − 0.25·3.5) = 83.39 J

最大压缩量

½kx² = 83.39 → x = √(2·83.39/4000) = 0.2042 m = 20.42 cm

答案

x = 20.42 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −2.6 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 14·17 = 238 kg·m/s

碰撞后的动量

238 = 4·66 + 10·v′₂

v′₂ = (238 − 264)/10 = −2.6 m/s

答案

v′₂ = −2.6 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 22.29 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·9) = 11.89 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3000·11.89/1600 = 22.29 m/s

答案

v₁ = 22.29 m/s

(80.23 km/h)

13.刚体转动

答案: R = 12.26 N

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·2) = 7.357 rad/s²

竖直方向的力

a_G = α·L/2 = 7.357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 5·(9.81 − 7.357) = 12.26 N

答案

R = 12.26 N

R = m·g/4，与长度无关。

14.刚体转动

答案: ω = 1.566 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 5.5·0.5²/3 + 0.015·0.3² = 0.4597 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.015·160·0.3/0.4597 = 1.566 rad/s

答案

ω = 1.566 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: N₂ = 60

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·93.75/2.5 = 75

按传动比分配

N₁ = 75/(1 + 4) = 15

N₂ = 4·15 = 60

答案

N₂ = 60

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 302.1 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 2900·20/80 = 725 rpm = n_C

第二级

n_out = 725·20/48 = 302.1 rpm

答案

n_out = 302.1 rpm

总传动比 = 9.6 : 1

17.弹簧与单摆

答案: T = 1.678 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.7/9.81) = 1.678 s

答案

T = 1.678 s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 2.327 m/s

角频率

ω = √(240/1.6) = 12.25 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.19·12.25 = 2.327 m/s

答案

v_max = 2.327 m/s

19.机械振动

答案: f_d = 6.805 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(25000/12) = 45.64 rad/s

f_n = 45.64/(2π) = 7.264 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7.264·√(1 − 0.35²) = 6.805 Hz

答案

f_d = 6.805 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 17 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 12 + 5 = 17 kN/m

答案

k_eq = 17 kN/m

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