动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 100 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2 m/s² 加速 11 s，然后匀速行驶 5 s，最后以 3 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 2 m/s²t₁ = 11 st₂ = 5 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 3 kg 的物块沿倾角为 25° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 3 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 9.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 36 m/s、与水平方向成 40° 的角度朝 52 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 36 m/sθ = 40°x = 52 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 32 m/sθ = 25°h = 60 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 25 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 25 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.5 kg 的小球系在长 1.4 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.5 kgr = 1.4 mv = 4.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 19 m，动摩擦因数为 0.35。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 0.5 kgθ = 45°μ = 0.35d = 19 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

在 30° 斜坡底部有一根刚度为 5000 N/m 的弹簧，它顶着一个 3 kg 的物块被压缩 8 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.1。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 3 kgk = 5000 N/mx = 8 cmθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 11 m/s 运动的 2 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 2 kgm₂ = 1 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.25 kg 的小球以 9 m/s 撞到墙上，并以 16 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.25 kgv_in = 9 m/sv_out = 16 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

一台电动机用 34 s 把转动惯量为 17 kg·m² 的飞轮从静止加速到 2700 rpm。忽略损耗，求它输出的平均功率 P_avg，单位 kW。

I = 17 kg·m²n = 2700 rpmt = 34 s

P_avg = kW

14.刚体转动困难

一个实心球沿与水平面成 10° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它从静止开始。沿斜面滚下 7 m 需要多长时间 t？

θ = 10°I = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²s = 7 m

t = s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 4 kW 的电动机以 960 rpm 运转，驱动一个齿数为 30 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 50 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 97%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 4 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 30N₂ = 50η = 97%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（15 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（18 齿）。齿轮 C（24 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（25 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 3000 rpmA = 15B = 18C = 24D = 25

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.4 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.4 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个 3.1 kg 的物体连在 k = 40 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 6 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 3.1 kgk = 40 N/mA = 6 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

一个 2 kg 的质量块挂在刚度为 1 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.45。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 2 kgk = 1 kN/mζ = 0.45

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 12 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 20 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 4.274 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27.78/6.5 = 4.274 s

答案

t = 4.274 s

2.运动学

答案: s = 311.7 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

最高速度

v = a₁·t₁ = 2·11 = 22 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·2·11² = 121 m

s₂ = 22·5 = 110 m

s₃ = 22²/(2·3) = 80.67 m

总距离

s = 121 + 110 + 80.67 = 311.7 m

答案

s = 311.7 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.146 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0) = 4.146 m/s²

答案

a = 4.146 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 3.797 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 0)/15.5 = 3.797 m/s²

答案

a = 3.797 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 26.19 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 36·cos 40° = 27.58 m/s

t = x/v_x = 52/27.58 = 1.886 s

此时的高度

y = 23.14·1.886 − ½·9.81·1.886² = 26.19 m

答案

y = 26.19 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 149 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 25° = 29 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 25° = 13.52 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 60 + 13.52·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13.52 + √(182.9 + 1177))/9.81 = 5.138 s

水平距离

x = v_x·t = 29·5.138 = 149 m

答案

x = 149 m

7.圆周运动

答案: v_max = 13.1 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·25) = 13.1 m/s

答案

v_max = 13.1 m/s (47.17 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 12.14 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.5·9.81 + 0.5·4.5²/1.4 = 4.905 + 7.232 = 12.14 N

答案

T = 12.14 N

9.功和能

答案: W_f = 23.06 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.7071 = 3.468 N

F = μN = 0.35·3.468 = 1.214 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.214·19 = 23.06 J

答案

W_f = 23.06 J

10.功和能

答案: d = 0.9268 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·5000·0.08² = 16 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 16/(29.43·(0.5 + 0.1·0.866)) = 0.9268 m

答案

d = 0.9268 m

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 14.67 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2 − 1)/(2 + 1)·11 = 3.667 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 1)·11 = 14.67 m/s

答案

v′₂ = 14.67 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 125 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.25·(16 + 9) = 6.25 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 6.25/0.05 = 125 N

答案

F_avg = 125 N

13.刚体转动

答案: P_avg = 19.99 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·2700/60 = 282.7 rad/s

能量

E = ½·I·ω² = ½·17·282.7² = 679522 J

平均功率

P_avg = E/t = 679522/34 = 19986 W = 19.99 kW

答案

P_avg = 19.99 kW

14.刚体转动

答案: t = 3.392 s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.4·m·r²·(a/r) → f = 0.4·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 10°/1.4 = 1.217 m/s²

时间

s = ½·a·t² → t = √(2·7/1.217) = 3.392 s

答案

t = 3.392 s

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 39.79 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/100.5 = 39.79 N·m

答案

T₁ = 39.79 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 2400 rpm

第一级

n_B = 3000·15/18 = 2500 rpm = n_C

第二级

n_out = 2500·24/25 = 2400 rpm

答案

n_out = 2400 rpm

总传动比 = 1.25 : 1

17.弹簧与单摆

答案: T = 1.269 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.4/9.81) = 1.269 s

答案

T = 1.269 s

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 0.7742 m/s²

角频率

ω = √(40/3.1) = 3.592 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.06·3.592² = 0.7742 m/s²

答案

a_max = 0.7742 m/s²

19.机械振动

答案: f_d = 3.178 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(1000/2) = 22.36 rad/s

f_n = 22.36/(2π) = 3.559 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.559·√(1 − 0.45²) = 3.178 Hz

答案

f_d = 3.178 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 3.667 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 12 + 80 = 92 kN/m

k_eq = 92·12/(92 + 12) = 10.62 kN/m

固有频率

ω_n = √(10615/20) = 23.04 rad/s

f_n = 23.04/(2π) = 3.667 Hz

答案

f_n = 3.667 Hz

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