动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 3.25 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 2000 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 3.25 m/s²s = 2000 m

v = m/s

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.6 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.6 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 5.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 31 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 5.5 m/sd = 31 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 10 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 10 kgm₂ = 1 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 34 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶部以 13 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 13 m/sθ = 50°h = 5 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 4 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 4 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一个 0.8 kg 的小球系在长 1.3 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.8 kgr = 1.3 mv = 6 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 500 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.1 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 10 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.1 kgk = 500 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 10 kgh = 2.5 mL = 4.5 mμ = 0.25k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 20 m/s 水平运动的 6 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。2 kg 的碎片以 72 m/s 继续向前运动。求 4 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 6 kgu = 20 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 72 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 18 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.35 kgv_in = 11 m/sv_out = 18 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

转动惯量为 32 kg·m² 的飞轮以 400 rpm 转动。制动器施加 130 N·m 的恒定摩擦转矩。飞轮在停下之前转过多少圈 N？

I = 32 kg·m²n = 400 rpmT_b = 130 N·m

N = rev

14.刚体转动困难

一个薄圆环沿与水平面成 35° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求防止它打滑所需的最小静摩擦因数 μ_s。

θ = 35°I = m·r²g = 9.81 m/s²

μ_s =

15.齿轮与齿轮系中等

一台 3 kW、转速 960 rpm 的电动机驱动一个齿数为 20、模数为 3 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 F_t。

P = 3 kWn = 960 rpmN₁ = 20m = 3 mm

F_t = N

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 200 mm 的带轮和一个 250 mm 的带轮，二者中心相距 600 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 200 mmd₂ = 250 mmC = 600 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1.5 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.5 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

把一个 1.2 kg 的物体挂在一根 k = 420 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的最大速度 v_max。

m = 1.2 kgk = 420 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 50 mm 之后 3 个周期出现峰值 34.3 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 50 mmx₃ = 34.3 mmn = 3

ζ =

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 10 kN/m，下弹簧 k₂ = 15 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 100 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: v = 114 m/s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·3.25·2000) = 114 m/s

答案

v = 114 m/s

(410.5 km/h)

2.运动学

答案: d = 92.03 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.6 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1578 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1578))/(2·4.905) = 4.332 s

深度

d = ½·9.81·4.332² = 92.03 m

答案

d = 92.03 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.04974

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 5.5²/(2·31) = 0.4879 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.4879/9.81 = 0.04974

答案

μ = 0.04974

4.牛顿定律

答案: a = 0.8918 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9.81 − 0)/11 = 0.8918 m/s²

答案

a = 0.8918 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 116 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 40° = 26.05 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 40° = 21.85 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·21.85/9.81 = 4.456 s

水平距离

x = v_x·t = 26.05·4.456 = 116 m

答案

x = 116 m

6.抛体运动

答案: α = 59.25 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 13·cos 50° = 8.356 m/s

v_y0 = 13·sin 50° = 9.959 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(9.959² + 2·9.81·5) = 14.05 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 14.05/8.356 → α = 59.25°

答案

α = 59.25°

7.圆周运动

答案: n = 17.87 rpm

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.7·4)) = 1.872 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 17.87 rpm

答案

n = 17.87 rpm

8.圆周运动

答案: T = 30 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.8·9.81 + 0.8·6²/1.3 = 7.848 + 22.15 = 30 N

答案

T = 30 N

9.功和能

答案: h = 2.548 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·500·0.1² = 2.5 J

高度

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N

h = ½kx²/(mg) = 2.5/0.981 = 2.548 m

答案

h = 2.548 m

10.功和能

答案: x = 51.94 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(2.5 − 0.25·4.5) = 134.9 J

最大压缩量

½kx² = 134.9 → x = √(2·134.9/1000) = 0.5194 m = 51.94 cm

答案

x = 51.94 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −6 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 6·20 = 120 kg·m/s

碰撞后的动量

120 = 2·72 + 4·v′₂

v′₂ = (120 − 144)/4 = −6 m/s

答案

v′₂ = −6 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: J = 10.15 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(18 + 11) = 10.15 N·s

答案

J = 10.15 N·s

13.刚体转动

答案: N = 34.37 rev

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·400/60 = 41.89 rad/s

制动器做的功等于动能

½·I·ω² = ½·32·41.89² = 28074 J

θ = 28074/130 = 216 rad

圈数

N = θ/2π = 34.37 rev

答案

N = 34.37 rev

14.刚体转动

答案: μ_s = 0.3501

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 35°/2 = 2.813 m/s²

所需的摩擦

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 1·tan 35°/2 = 0.3501

答案

μ_s = 0.3501

15.齿轮与齿轮系

答案: F_t = 994.7 N

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

小齿轮上的转矩

ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T = P/ω = 3000/100.5 = 29.84 N·m

分度圆直径

d = m·N = 3·20 = 60 mm

切向力

F_t = 2T/d = 2·29.84/0.06 = 994.7 N

答案

F_t = 994.7 N

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 175.2 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.04167) = 2.388°

包角

θ = 180 − 2·2.388 = 175.2°

答案

θ = 175.2°

17.弹簧与单摆

答案: T = 2.457 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.5/9.81) = 2.457 s

答案

T = 2.457 s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.5244 m/s

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 1.2·9.81/420 = 0.02803 m = A

最大速度

速度在平衡位置处最大。

ω = √(420/1.2) = 18.71 rad/s

v_max = A·ω = 0.02803·18.71 = 0.5244 m/s

答案

v_max = 0.5244 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.01999

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/3)·ln(50/34.3) = 0.1256

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1256/√(39.48 + 0.01578) = 0.01999

答案

ζ = 0.01999

20.机械振动

答案: k_eq = 6 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/10 + 1/15 → k_eq = 10·15/(10 + 15) = 6 kN/m

答案

k_eq = 6 kN/m

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