动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 90 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 90 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 13 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 13 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 6.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 14 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 6.5 m/sd = 14 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 110 N 的水平力拉前面 4 kg 的物块；12 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 12 kgm₂ = 4 kgF = 110 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 32 m/s、与水平方向成 45° 的角度朝 63 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 32 m/sθ = 45°x = 63 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 34 m/sθ = 30°h = 45 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 120 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 120 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.5 kg 的球系在长 0.9 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 9 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.5 kgr = 0.9 mv_bottom = 9 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 120 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。求制动距离 d。

v = 120 km/hμ = 0.8g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 1 kgh = 4.5 mL = 4 mμ = 0.15k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 5 m/s 行驶的 700 kg 汽车撞上一辆静止的 500 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 700 kgv₁ = 5 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 8 m/s 撞到墙上，并以 15 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.4 kgv_in = 8 m/sv_out = 15 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

一台电动机用 53 s 把转动惯量为 13 kg·m² 的飞轮从静止加速到 300 rpm。忽略损耗，求它输出的平均功率 P_avg，单位 kW。

I = 13 kg·m²n = 300 rpmt = 53 s

P_avg = kW

14.刚体转动困难

质量为 9.5 kg、长为 1.3 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 40 g 的子弹以 140 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 1.07 m 处并留在杆中。求撞击后瞬间杆的角速度 ω。

M = 9.5 kgL = 1.3 mm = 40 gv = 140 m/sd = 1.07 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 144 mm。须用一对模数为 3 mm、减速比为 3 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。大齿轮须有多少个齿 N₂？

a = 144 mmm = 3 mmi = 3

N₂ =

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 100 mm 的带轮和一个 250 mm 的带轮，二者中心相距 800 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 100 mmd₂ = 250 mmC = 800 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 330 N/m 弹簧上的 1.4 kg 物体被沿正方向拉开 5 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.2 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 1.4 kgk = 330 N/mA = 5 cmt = 0.2 s

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个 0.7 kg 的物体连在 k = 200 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 12 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 0.7 kgk = 200 N/mA = 12 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

一个 250 kg 的质量块挂在刚度为 150 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.3。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 250 kgk = 150 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 20 kN/m，下弹簧 k₂ = 30 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 100 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: s = 69.44 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·4.5) = 69.44 m

答案

s = 69.44 m

2.运动学

答案: t = 2.991 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−5 = 13·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 13·t − 5 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (13 + √(13² + 2·9.81·5))/9.81 = 2.991 s

答案

t = 2.991 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.1538

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 6.5²/(2·14) = 1.509 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.509/9.81 = 0.1538

答案

μ = 0.1538

4.牛顿定律

答案: T = 82.5 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (110 − 23.54)/16 = 5.404 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 12·(5.404 + 1.472) = 82.5 N

答案

T = 82.5 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: y = 24.98 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 32·cos 45° = 22.63 m/s

t = x/v_x = 63/22.63 = 2.784 s

此时的高度

y = 22.63·2.784 − ½·9.81·2.784² = 24.98 m

答案

y = 24.98 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: x = 153.8 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 30° = 29.44 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 30° = 17 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 17·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17 + √(289 + 882.9))/9.81 = 5.223 s

水平距离

x = v_x·t = 29.44·5.223 = 153.8 m

答案

x = 153.8 m

7.圆周运动

答案: v_max = 30.69 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·120) = 30.69 m/s

答案

v_max = 30.69 m/s (110.5 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 61.42 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 9² − 4·9.81·0.9 = 45.68 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.5·45.68/0.9 − 1.5·9.81 = 61.42 N

答案

T_top = 61.42 N

9.功和能

答案: d = 70.79 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 120/3.6 = 33.33 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 33.33²/(2·0.8·9.81) = 70.79 m

答案

d = 70.79 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: x = 22.59 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(4.5 − 0.15·4) = 38.26 J

最大压缩量

½kx² = 38.26 → x = √(2·38.26/1500) = 0.2259 m = 22.59 cm

答案

x = 22.59 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 3646 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·5/1200 = 2.917 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·700·5² = 8750 J

K_after = ½·1200·2.917² = 5104 J

损失的能量

ΔK = 8750 − 5104 = 3646 J

答案

ΔK = 3646 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 184 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(15 + 8) = 9.2 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 9.2/0.05 = 184 N

答案

F_avg = 184 N

13.刚体转动

答案: P_avg = 0.121 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

能量

E = ½·I·ω² = ½·13·31.42² = 6415 J

平均功率

P_avg = E/t = 6415/53 = 121 W = 0.121 kW

答案

P_avg = 0.121 kW

14.刚体转动

答案: ω = 1.11 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 9.5·1.3²/3 + 0.04·1.07² = 5.397 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.04·140·1.07/5.397 = 1.11 rad/s

答案

ω = 1.11 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: N₂ = 72

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·144/3 = 96

按传动比分配

N₁ = 96/(1 + 3) = 24

N₂ = 3·24 = 72

答案

N₂ = 72

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 169.2 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.09375) = 5.379°

包角

θ = 180 − 2·5.379 = 169.2°

答案

θ = 169.2°

17.弹簧与单摆

答案: v = −0.05445 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(330/1.4) = 15.35 rad/s

ω·t = 15.35·0.2 = 3.071 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.05·15.35·sin(3.071) = −0.05445 m/s

答案

v = −0.05445 m/s

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 34.29 m/s²

角频率

ω = √(200/0.7) = 16.9 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.12·16.9² = 34.29 m/s²

答案

a_max = 34.29 m/s²

19.机械振动

答案: f_d = 3.719 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(150000/250) = 24.49 rad/s

f_n = 24.49/(2π) = 3.898 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.898·√(1 − 0.3²) = 3.719 Hz

答案

f_d = 3.719 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 12 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/20 + 1/30 → k_eq = 20·30/(20 + 30) = 12 kN/m

答案

k_eq = 12 kN/m

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