动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 36 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 36 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 18 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 18 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 12 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 24 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 12 m/sd = 24 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 4 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 2 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 4 kgm₂ = 2 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 70° 的角度抛出，落在 120 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 70°R = 120 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶部以 15 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 15 m/sθ = 60°h = 10 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一个系在长 1 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 60° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 1 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一辆 1 kg 的小车在无摩擦轨道上从 48 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 10 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 N_bottom。

m = 1 kgh = 48 mR = 10 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 1000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.1 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 5 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.1 kgk = 1000 N/mx = 5 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 4 kgh = 3 mL = 3 mμ = 0.2k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 7 m/s 行驶的 1500 kg 汽车撞上一辆静止的 1800 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 1500 kgv₁ = 7 m/sm₂ = 1800 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 10 m/s 向东行驶的 1500 kg 汽车与一辆以 17 m/s 向北行驶的 1500 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1500 kgv₁ = 10 m/s (E)m₂ = 1500 kgv₂ = 17 m/s (N)

θ = °

13.刚体转动中等

一个 1 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 2 kg、半径为 0.5 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求滑轮的角加速度 α。

m = 1 kgM = 2 kgR = 0.5 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

一个人站在无摩擦的转盘上，每只手各拿一个 2 kg 的哑铃，距转轴 0.7 m。人和转盘单独对转轴的转动惯量为 1.5 kg·m²。他们以 60 rpm 转动，然后把哑铃收到距转轴 0.3 m 处。把哑铃看作质点。求新的转速 n₂，单位 rpm。

I₀ = 1.5 kg·m²m = 2 × 2 kgr₁ = 0.7 mr₂ = 0.3 mn₁ = 60 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

一台 4 kW、转速 1440 rpm 的电动机驱动一个齿数为 16、模数为 4 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 F_t。

P = 4 kWn = 1440 rpmN₁ = 16m = 4 mm

F_t = N

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 120 mm 的带轮和一个 450 mm 的带轮，二者中心相距 500 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 120 mmd₂ = 450 mmC = 500 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 320 N/m 弹簧上的 3.2 kg 物体在无摩擦表面上以 8 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 6 cm 时的速度 v。

m = 3.2 kgk = 320 N/mA = 8 cmx = 6 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个 3.5 kg 的物体连在 k = 70 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 15 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 3.5 kgk = 70 N/mA = 15 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 40 kg 的质量块挂在刚度为 40 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.6。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 40 kgk = 40 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 5 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 15 kN/m 和 k₂ = 60 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 10 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 14.29 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·3.5) = 14.29 m

答案

s = 14.29 m

2.运动学

答案: t = 4.914 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−30 = 18·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 18·t − 30 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (18 + √(18² + 2·9.81·30))/9.81 = 4.914 s

答案

t = 4.914 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.3058

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 12²/(2·24) = 3 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3/9.81 = 0.3058

答案

μ = 0.3058

4.牛顿定律

答案: a = 0.5061 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 19.62 N

m₁·g·sin θ = 16.58 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (19.62 − 16.58 − 0)/6 = 0.5061 m/s²

答案

a = 0.5061 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 42.79 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·120/sin 140°) = 42.79 m/s

答案

v₀ = 42.79 m/s

6.抛体运动

答案: α = 68.57 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 15·cos 60° = 7.5 m/s

v_y0 = 15·sin 60° = 12.99 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(12.99² + 2·9.81·10) = 19.1 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 19.1/7.5 → α = 68.57°

答案

α = 68.57°

7.圆周运动

答案: v = 3.836 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

圆的半径

r = L·sin θ = 1·sin 60° = 0.866 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.866·9.81·tan 60°) = 3.836 m/s

答案

v = 3.836 m/s

8.圆周运动

答案: N_bottom = 104 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·48 = 941.8 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R + m·g = 1·941.8/10 + 9.81 = 104 N

答案

N_bottom = 104 N

9.功和能

答案: h = 1.274 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·1000·0.05² = 1.25 J

高度

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N

h = ½kx²/(mg) = 1.25/0.981 = 1.274 m

答案

h = 1.274 m

10.功和能

答案: v = 6.862 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(3 − 0.2·3) = 94.18 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.4) = 6.862 m/s

答案

v = 6.862 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 54.55 %

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1500·7/3300 = 3.182 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1500·7² = 36750 J

K_after = ½·3300·3.182² = 16705 J

损失的比例

ΔK/K = 20045/36750 = 54.55 %

答案

ΔK/K = 54.55 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: θ = 59.53 °

动量分量

p_x = 1500·10 = 15000 kg·m/s

p_y = 1500·17 = 25500 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 1.7 → θ = 59.53°

答案

θ = 59.53°

13.刚体转动

答案: α = 9.81 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 1·9.81/(1 + 1) = 4.905 m/s²

角加速度

α = a/R = 4.905/0.5 = 9.81 rad/s²

答案

α = 9.81 rad/s²

14.刚体转动

答案: n₂ = 111.6 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = 1.5 + 2·2·0.7² = 3.46 kg·m²

I₂ = 1.5 + 2·2·0.3² = 1.86 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 60·3.46/1.86 = 111.6 rpm

答案

n₂ = 111.6 rpm

动能增加了：多出来的能量来自人收哑铃时所做的功。

15.齿轮与齿轮系

答案: F_t = 828.9 N

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

小齿轮上的转矩

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 4000/150.8 = 26.53 N·m

分度圆直径

d = m·N = 4·16 = 64 mm

切向力

F_t = 2T/d = 2·26.53/0.064 = 828.9 N

答案

F_t = 828.9 N

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 141.5 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.33) = 19.27°

包角

θ = 180 − 2·19.27 = 141.5°

答案

θ = 141.5°

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.5292 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(320/3.2) = 10 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 10·√(0.08² − 0.06²) = 0.5292 m/s

答案

v = 0.5292 m/s

18.弹簧与单摆

答案: E = 0.7875 J

角频率

ω = √(70/3.5) = 4.472 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·70·0.15² = 0.7875 J

答案

E = 0.7875 J

19.机械振动

答案: f_d = 4.026 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(40000/40) = 31.62 rad/s

f_n = 31.62/(2π) = 5.033 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5.033·√(1 − 0.6²) = 4.026 Hz

答案

f_d = 4.026 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 3.446 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 15 + 60 = 75 kN/m

k_eq = 75·5/(75 + 5) = 4.688 kN/m

固有频率

ω_n = √(4688/10) = 21.65 rad/s

f_n = 21.65/(2π) = 3.446 Hz

答案

f_n = 3.446 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics