动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 50 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 50 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 1.8 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 1.8 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 9 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 9 kgθ = 45°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 9.5 m/s 的速度开始沿 15° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 9.5 m/sθ = 15°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 12 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 30 m/sθ = 55°h = 55 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.7 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 2.7 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个 1.4 kg 的球系在长 0.8 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 12 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.4 kgr = 0.8 mv_bottom = 12 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 1 kg 的球挂在长 2 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 70°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 1 kgL = 2 mθ = 70°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2 kgh = 3.5 mL = 3 mμ = 0.1k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 3.5 kg 滑块与一个静止的 3 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.3 kg 的小球以 8 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.3 kgv_in = 8 m/sv_out = 19 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

转动惯量为 37 kg·m² 的飞轮以 2800 rpm 转动。制动器施加 170 N·m 的恒定摩擦转矩。它需要多长时间 t 才能停下？

I = 37 kg·m²n = 2800 rpmT_b = 170 N·m

t = s

14.刚体转动困难

一个实心球沿与水平面成 10° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求其质心的加速度 a。

θ = 10°I = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²

a = m/s²

15.齿轮与齿轮系中等

一台 5.5 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 36 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 80 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 95%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 5.5 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 36N₂ = 80η = 95%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 120 mm 的带轮和一个 200 mm 的带轮，二者中心相距 1000 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 120 mmd₂ = 200 mmC = 1000 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 500 N/m 弹簧上的 2.6 kg 物体在无摩擦表面上以 4 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 2 cm 时的速度 v。

m = 2.6 kgk = 500 N/mA = 4 cmx = 2 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

把一个 0.8 kg 的物体挂在一根 k = 200 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的最大速度 v_max。

m = 0.8 kgk = 200 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 10 kg 的质量块由刚度为 80 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 180 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 10 kgk = 80 kN/mc = 180 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 25 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 12 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 5 kN/m 和 k₂ = 15 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 25 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 27.56 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·3.5) = 27.56 m

答案

s = 27.56 m

2.运动学

答案: d = 15.12 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(1.8 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 617.4 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·617.4))/(2·4.905) = 1.756 s

深度

d = ½·9.81·1.756² = 15.12 m

答案

d = 15.12 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.549 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.2·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1414) = 5.549 m/s²

答案

a = 5.549 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 10.18 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 15° + 0.2·cos 15°) = 4.434 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 9.5²/(2·4.434) = 10.18 m

答案

d = 10.18 m

5.抛体运动

答案: H = 3.67 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 45° = 8.485 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 45° = 8.485 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 8.485²/(2·9.81) = 3.67 m

答案

H = 3.67 m

6.抛体运动

答案: x = 115.1 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 55° = 17.21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 55° = 24.57 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 24.57·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (24.57 + √(603.9 + 1079))/9.81 = 6.687 s

水平距离

x = v_x·t = 17.21·6.687 = 115.1 m

答案

x = 115.1 m

7.圆周运动

答案: ω = 2.461 rad/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.6·2.7)) = 2.461 rad/s

答案

ω = 2.461 rad/s

8.圆周运动

答案: T_top = 183.3 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 12² − 4·9.81·0.8 = 112.6 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.4·112.6/0.8 − 1.4·9.81 = 183.3 N

答案

T_top = 183.3 N

9.功和能

答案: T = 22.72 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·2·(1 − cos 70°) = 25.82 m²/s²

最低点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·25.82/2 = 22.72 N

答案

T = 22.72 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 22.72 N。

10.功和能

答案: v = 7.924 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(3.5 − 0.1·3) = 62.78 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.2) = 7.924 m/s

答案

v = 7.924 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 9.692 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3.5 − 3)/(3.5 + 3)·9 = 0.6923 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 3)·9 = 9.692 m/s

答案

v′₂ = 9.692 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 202.5 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.3·(19 + 8) = 8.1 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 8.1/0.04 = 202.5 N

答案

F_avg = 202.5 N

13.刚体转动

答案: t = 63.82 s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·2800/60 = 293.2 rad/s

减速度和时间

α = T_b/I = 170/37 = 4.595 rad/s²

t = ω/α = 293.2/4.595 = 63.82 s

答案

t = 63.82 s

14.刚体转动

答案: a = 1.217 m/s²

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.4·m·r²·(a/r) → f = 0.4·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 10°/1.4 = 1.217 m/s²

答案

a = 1.217 m/s²

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 35.01 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/157.1 = 35.01 N·m

答案

T₁ = 35.01 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 175.4 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.04) = 2.292°

包角

θ = 180 − 2·2.292 = 175.4°

答案

θ = 175.4°

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.4804 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(500/2.6) = 13.87 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 13.87·√(0.04² − 0.02²) = 0.4804 m/s

答案

v = 0.4804 m/s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.6204 m/s

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 0.8·9.81/200 = 0.03924 m = A

最大速度

速度在平衡位置处最大。

ω = √(200/0.8) = 15.81 rad/s

v_max = A·ω = 0.03924·15.81 = 0.6204 m/s

答案

v_max = 0.6204 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.1006

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·10) = 1789 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 180/1789 = 0.1006

答案

ζ = 0.1006

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 2.757 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 5 + 15 = 20 kN/m

k_eq = 20·12/(20 + 12) = 7.5 kN/m

固有频率

ω_n = √(7500/25) = 17.32 rad/s

f_n = 17.32/(2π) = 2.757 Hz

答案

f_n = 2.757 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics