动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 50 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 50 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 22 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 22 m/s²t₁ = 1 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 8 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 8 kgθ = 40°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 1.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 9 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 9 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 34 m/s、与水平方向成 60° 的角度朝 41 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 34 m/sθ = 60°x = 41 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 26 m/sθ = 45°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 140 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 140 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 100 m 的弯道倾斜 20°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 100 mθ = 20°μ_s = 0.25g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 60 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.4。求制动距离 d。

v = 60 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.1）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 5 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 1 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 10 kgm₂ = 5 kgμ = 0.1d = 1 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 4.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 3 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1800 kg 的汽车撞上一辆停放的 1300 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 20.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1800 kgm₂ = 1300 kgd = 20.5 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

质量为 14 kg、长为 1.3 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间自由端的加速度 a_tip。

m = 14 kgL = 1.3 mg = 9.81 m/s²

a_tip = m/s²

14.刚体转动困难

质量为 5 kg、长为 1.5 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 45 g 的子弹以 260 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.8 m 处并留在杆中。求撞击后瞬间杆的角速度 ω。

M = 5 kgL = 1.5 mm = 45 gv = 260 m/sd = 0.8 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 120 mm。须用一对模数为 3 mm、减速比为 3 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。大齿轮须有多少个齿 N₂？

a = 120 mmm = 3 mmi = 3

N₂ =

16.齿轮与齿轮系困难

在一个行星齿轮系中，太阳轮有 16 个齿，每个行星轮有 20 个齿。齿圈固定，太阳轮以 600 rpm 驱动。求行星架的转速 n_c。

N_s = 16N_p = 20n_s = 600 rpm

n_c = rpm

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.9 m 的单摆在小幅摆动时周期为 1.78 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.9 mT = 1.78 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个 0.8 kg 的物体连在 k = 440 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 3 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 0.8 kgk = 440 N/mA = 3 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 250 kg 的质量块由刚度为 80 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 1340 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 250 kgk = 80 kN/mc = 1340 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 5 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 30 kN/m 和 k₂ = 50 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 21.43 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·4.5) = 21.43 m

答案

s = 21.43 m

2.运动学

答案: h_max = 35.67 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 22·1 = 22 m/s

h₁ = ½·22·1² = 11 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 22²/(2·9.81) = 24.67 m

h_max = 11 + 24.67 = 35.67 m

答案

h_max = 35.67 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.179 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.15·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1149) = 5.179 m/s²

答案

a = 5.179 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 7.586 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 88.29 N

m₁·g·sin θ = 7.357 N

μ·m₁·g·cos θ = 1.274 N

系统的加速度

a = (88.29 − 7.357 − 1.274)/10.5 = 7.586 m/s²

答案

a = 7.586 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 42.48 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 34·cos 60° = 17 m/s

t = x/v_x = 41/17 = 2.412 s

此时的高度

y = 29.44·2.412 − ½·9.81·2.412² = 42.48 m

答案

y = 42.48 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 88.4 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 45° = 18.38 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 45° = 18.38 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 18.38·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.38 + √(338 + 490.5))/9.81 = 4.808 s

水平距离

x = v_x·t = 18.38·4.808 = 88.4 m

答案

x = 88.4 m

7.圆周运动

答案: v_max = 28.71 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·140) = 28.71 m/s

答案

v_max = 28.71 m/s (103.3 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 10.12 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(100·9.81·0.1071/1.025) = 10.12 m/s

答案

v_min = 10.12 m/s

(36.44 km/h)

9.功和能

答案: d = 35.39 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 60/3.6 = 16.67 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 16.67²/(2·0.4·9.81) = 35.39 m

答案

d = 35.39 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: v = 2.287 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 49.05·1 = 49.05 J

μ·m₁g·d = 0.1·98.1·1 = 9.81 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 39.24 → v = √(2·39.24/15) = 2.287 m/s

答案

v = 2.287 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 3.2 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3 − 4.5)/(3 + 4.5)·4 = −0.8 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 4.5)·4 = 3.2 m/s

答案

v′₂ = 3.2 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 26.75 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·20.5) = 15.53 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3100·15.53/1800 = 26.75 m/s

答案

v₁ = 26.75 m/s

(96.31 km/h)

13.刚体转动

答案: a_tip = 14.71 m/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·1.3) = 11.32 rad/s²

自由端的加速度

a_tip = α·L = 11.32·1.3 = 14.71 m/s²

答案

a_tip = 14.71 m/s²

对任何长度，a_tip = 1.5·g：自由端下落得比扔下的石头还快。

14.刚体转动

答案: ω = 2.477 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 5·1.5²/3 + 0.045·0.8² = 3.779 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.045·260·0.8/3.779 = 2.477 rad/s

答案

ω = 2.477 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: N₂ = 60

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·120/3 = 80

按传动比分配

N₁ = 80/(1 + 3) = 20

N₂ = 3·20 = 60

答案

N₂ = 60

16.齿轮与齿轮系

答案: n_c = 133.3 rpm

行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。

齿圈齿数

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·20 = 56

齿圈固定时的威利斯方程

令 n_r = 0，求行星架的转速。

(600 − n_c)/(0 − n_c) = −56/16

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 600·16/72 = 133.3 rpm

答案

n_c = 133.3 rpm

行星架与太阳轮转向相同。

17.弹簧与单摆

答案: g = 11.21 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.9/1.78² = 11.21 m/s²

答案

g = 11.21 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.7036 m/s

角频率

ω = √(440/0.8) = 23.45 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.03·23.45 = 0.7036 m/s

答案

v_max = 0.7036 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.1498

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·250) = 8944 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 1340/8944 = 0.1498

答案

ζ = 0.1498

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 2.441 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 30 + 50 = 80 kN/m

k_eq = 80·5/(80 + 5) = 4.706 kN/m

固有频率

ω_n = √(4706/20) = 15.34 rad/s

f_n = 15.34/(2π) = 2.441 Hz

答案

f_n = 2.441 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics