动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 72 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1 s，之后汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 72 km/ht_r = 1 sa = −6.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 14 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 2 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 1.4 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 2 m/sd = 1.4 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 9 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 8 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 9 kgm₂ = 8 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 30 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶部以 21 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 21 m/sθ = 35°h = 50 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一个半径为 250 m 的弯道倾斜 25°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 250 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.9 kg 的球系在长 1.1 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 10.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.9 kgr = 1.1 mv_bottom = 10.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 17 m 后的速度 v。

θ = 30°μ = 0.15d = 17 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一辆 2 kg 的小车从光滑轨道上 3.5 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 1 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 2 kgh = 3.5 mR = 1 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

一个以 40 m/s 水平运动的 5 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。4 kg 的碎片以 73 m/s 继续向前运动。求 1 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 5 kgu = 40 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 73 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.2 kg 的小球以 23 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.2 kgv_in = 23 m/sv_out = 19 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

质量为 5 kg、长为 1.2 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。一个质量为 4 kg 的小球固定在它的自由端。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时的角速度 ω。

m = 5 kgL = 1.2 mm_ball = 4 kgg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.刚体转动困难

一个实心球从静止开始，沿与水平面成 25° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它的半径为 0.15 m。求它沿斜面滚过 4 m 后的角速度 ω。

θ = 25°s = 4 mI = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.15 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 54 mm。须用一对模数为 1.5 mm、减速比为 2 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。大齿轮须有多少个齿 N₂？

a = 54 mmm = 1.5 mmi = 2

N₂ =

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（16 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（20 齿）。齿轮 C（18 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（50 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 3000 rpmA = 16B = 20C = 18D = 50

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.6 m 的单摆在小幅摆动时周期为 2.53 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.6 mT = 2.53 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

把一个 1.5 kg 的物体挂在一根 k = 370 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求弹簧的最大伸长量 x_max，以 cm 表示。

m = 1.5 kgk = 370 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

19.机械振动中等

一个 15 kg 的质量块由刚度为 20 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 270 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 15 kgk = 20 kN/mc = 270 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 10 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 50.77 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 20·1 = 20 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·6.5) = 30.77 m

合计

d = 20 + 30.77 = 50.77 m

答案

d = 50.77 m

2.运动学

答案: t = 4.098 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−25 = 14·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 14·t − 25 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (14 + √(14² + 2·9.81·25))/9.81 = 4.098 s

答案

t = 4.098 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.1456

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 2²/(2·1.4) = 1.429 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.429/9.81 = 0.1456

答案

μ = 0.1456

4.牛顿定律

答案: a = 1.57 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 78.48 N

m₁·g·sin θ = 44.14 N

μ·m₁·g·cos θ = 7.646 N

系统的加速度

a = (78.48 − 44.14 − 7.646)/17 = 1.57 m/s²

答案

a = 1.57 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 3.508 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 35° = 24.57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 35° = 17.21 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·17.21/9.81 = 3.508 s

答案

t = 3.508 s

6.抛体运动

答案: α = 62.86 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 21·cos 35° = 17.2 m/s

v_y0 = 21·sin 35° = 12.05 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(12.05² + 2·9.81·50) = 33.56 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 33.56/17.2 → α = 62.86°

答案

α = 62.86°

7.圆周运动

答案: v = 33.82 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(250·9.81·tan 25°) = 33.82 m/s

答案

v = 33.82 m/s

(121.7 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 97.24 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 10.5² − 4·9.81·1.1 = 67.09 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.9·67.09/1.1 − 1.9·9.81 = 97.24 N

答案

T_top = 97.24 N

9.功和能

答案: v = 11.11 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·17·(0.5 − 0.15·0.866)) = 11.11 m/s

答案

v = 11.11 m/s

10.功和能

答案: N = 39.24 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(3.5 − 2) = 29.43 m²/s²

顶点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

N = mv²/R − mg = 2·29.43/1 − 19.62 = 39.24 N

答案

N = 39.24 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −92 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 5·40 = 200 kg·m/s

碰撞后的动量

200 = 4·73 + 1·v′₂

v′₂ = (200 − 292)/1 = −92 m/s

答案

v′₂ = −92 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 210 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.2·(19 + 23) = 8.4 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 8.4/0.04 = 210 N

答案

F_avg = 210 N

13.刚体转动

答案: ω = 4.331 rad/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 5·9.81·0.6 + 4·9.81·1.2 = 76.52 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 2.4 + 5.76 = 8.16 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 76.52 → ω = √(2·76.52/8.16) = 4.331 rad/s

答案

ω = 4.331 rad/s

14.刚体转动

答案: ω = 32.45 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 4·sin 25° = 1.69 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.4)

v = √(2·9.81·1.69/1.4) = 4.867 m/s

ω = v/r = 4.867/0.15 = 32.45 rad/s

答案

ω = 32.45 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: N₂ = 48

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·54/1.5 = 72

按传动比分配

N₁ = 72/(1 + 2) = 24

N₂ = 2·24 = 48

答案

N₂ = 48

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 864 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 3000·16/20 = 2400 rpm = n_C

第二级

n_out = 2400·18/50 = 864 rpm

答案

n_out = 864 rpm

总传动比 = 3.472 : 1

17.弹簧与单摆

答案: g = 3.701 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.6/2.53² = 3.701 m/s²

答案

g = 3.701 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: x_max = 7.954 cm

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 1.5·9.81/370 = 0.03977 m = A

最低点

x_max = 2A = 0.07954 m = 7.954 cm

答案

x_max = 7.954 cm

19.机械振动

答案: ζ = 0.2465

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·15) = 1095 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 270/1095 = 0.2465

答案

ζ = 0.2465

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 15.27 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 12 + 80 = 92 kN/m

固有频率

ω_n = √(92000/10) = 95.92 rad/s

f_n = 95.92/(2π) = 15.27 Hz

答案

f_n = 15.27 Hz

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