动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 28 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 28 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1.5 m/s² 加速 5 s，然后匀速行驶 9 s，最后以 2.5 m/s² 制动直到停止。求总行驶时间 t。

a₁ = 1.5 m/s²t₁ = 5 st₂ = 9 sa₃ = −2.5 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 8.5 kg 和 4.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 4.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 5.5 m/s 的速度开始沿 25° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 5.5 m/sθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 15° 的角度抛出，落在 75 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 15°R = 75 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶部以 15 m/s、与水平方向成 70° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 15 m/sθ = 70°h = 40 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 30 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 30 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1 kg 的小球系在长 0.7 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 7.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1 kgr = 0.7 mv = 7.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。求它沿斜面滑行 8 m 后的速度 v。

θ = 30°μ = 0.1d = 8 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 20 kg 的物块从 35° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 235 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.2。求物块沿斜坡向上移动 5 m 后的速度 v。

m = 20 kgF = 235 Nθ = 35°μ = 0.2d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 0.5 kg 滑块与一个静止的 2 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 27 m/s 撞到墙上，并以 10 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.15 kgv_in = 27 m/sv_out = 10 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

质量为 8.5 kg、长为 2.7 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间销钉对杆的竖直力 R。

m = 8.5 kgL = 2.7 mg = 9.81 m/s²

R = N

14.刚体转动困难

质量为 6.5 kg、长为 1 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 25 g 的子弹以 600 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.5 m 处并留在杆中。求撞击后瞬间杆的角速度 ω。

M = 6.5 kgL = 1 mm = 25 gv = 600 m/sd = 0.5 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 3 kW、转速 1440 rpm 的电动机驱动一个齿数为 16、模数为 3 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 F_t。

P = 3 kWn = 1440 rpmN₁ = 16m = 3 mm

F_t = N

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 960 rpm 转动、直径 120 mm 的主动轮与一个 400 mm 的带轮相连；中心距为 1000 mm。摩擦系数为 0.3，紧边张力不得超过 1500 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 120 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 400 mmC = 1000 mmμ = 0.3T₁ = 1500 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.9 m 的单摆在小幅摆动时周期为 3.09 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.9 mT = 3.09 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2.9 s，振幅为 7 cm。它从最大位移 7 cm 处运动到位移 6.3 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2.9 sA = 7 cmx = 6.3 cm

t = s

19.机械振动中等

一个 150 kg 的质量块挂在刚度为 100 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.35。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 150 kgk = 100 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 12 kN/m，下弹簧 k₂ = 80 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 40 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: d = 313.6 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·28/5 = 11.2 s

距离

d = v·t = 28·11.2 = 313.6 m

答案

d = 313.6 m

此时警车的速度为 2v = 56 m/s。

2.运动学

答案: t = 17 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

最高速度

v = a₁·t₁ = 1.5·5 = 7.5 m/s

制动时间

t₃ = v/a₃ = 7.5/2.5 = 3 s

总时间

t = 5 + 9 + 3 = 17 s

答案

t = 17 s

3.牛顿定律

答案: T = 57.73 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (8.5 − 4.5)·9.81/(8.5 + 4.5) = 3.018 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 4.5·(9.81 + 3.018) = 57.73 N

答案

T = 57.73 N

4.牛顿定律

答案: d = 2.76 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 25° + 0.15·cos 25°) = 5.48 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 5.5²/(2·5.48) = 2.76 m

答案

d = 2.76 m

5.抛体运动

答案: v₀ = 38.36 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·75/sin 30°) = 38.36 m/s

答案

v₀ = 38.36 m/s

6.抛体运动

答案: H = 50.13 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 15·sin 70° = 14.1 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 14.1²/(2·9.81) = 10.13 m

离地面的高度

H = 40 + 10.13 = 50.13 m

答案

H = 50.13 m

7.圆周运动

答案: v_max = 14.35 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·30) = 14.35 m/s

答案

v_max = 14.35 m/s (51.67 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 90.17 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1·9.81 + 1·7.5²/0.7 = 9.81 + 80.36 = 90.17 N

答案

T = 90.17 N

9.功和能

答案: v = 8.055 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·8·(0.5 − 0.1·0.866)) = 8.055 m/s

答案

v = 8.055 m/s

10.功和能

答案: v = 6.72 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 20·9.81 = 196.2 N

mg·sin θ = 112.5 N

μ·mg·cos θ = 32.14 N

功–能关系

½mv² = (235 − 144.7)·5 = 451.6 J

v = √(2·451.6/20) = 6.72 m/s

答案

v = 6.72 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 4.8 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (0.5 − 2)/(0.5 + 2)·12 = −7.2 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 2)·12 = 4.8 m/s

答案

v′₂ = 4.8 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 555 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(10 + 27) = 5.55 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 5.55/0.01 = 555 N

答案

F_avg = 555 N

13.刚体转动

答案: R = 20.85 N

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·2.7) = 5.45 rad/s²

竖直方向的力

a_G = α·L/2 = 7.357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 8.5·(9.81 − 7.357) = 20.85 N

答案

R = 20.85 N

R = m·g/4，与长度无关。

14.刚体转动

答案: ω = 3.452 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 6.5·1²/3 + 0.025·0.5² = 2.173 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.025·600·0.5/2.173 = 3.452 rad/s

答案

ω = 3.452 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: F_t = 828.9 N

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

小齿轮上的转矩

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 3000/150.8 = 19.89 N·m

分度圆直径

d = m·N = 3·16 = 48 mm

切向力

F_t = 2T/d = 2·19.89/0.048 = 828.9 N

答案

F_t = 828.9 N

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 5.212 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

包角

θ = 2.861 rad

松边张力

e^μθ = e^0.8582 = 2.359, T₂ = 1500/2.359 = 635.9 N

功率

P = (1500 − 635.9)·6.032 = 5.212 kW

答案

P = 5.212 kW

17.弹簧与单摆

答案: g = 3.721 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.9/3.09² = 3.721 m/s²

答案

g = 3.721 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.2082 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/2.9 = 2.167 rad/s

求解时间

0.9 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.9) = 0.451 rad

t = 0.451/2.167 = 0.2082 s

答案

t = 0.2082 s

19.机械振动

答案: f_d = 3.849 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(100000/150) = 25.82 rad/s

f_n = 25.82/(2π) = 4.109 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4.109·√(1 − 0.35²) = 3.849 Hz

答案

f_d = 3.849 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 10.43 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/12 + 1/80 → k_eq = 12·80/(12 + 80) = 10.43 kN/m

答案

k_eq = 10.43 kN/m

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