动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 180 km/h 的速度，可用跑道长 2400 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 180 km/hs = 2400 m

a = m/s²

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 28 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 28 m/s²t₁ = 1 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 4 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 4 kgθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 3.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 0.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 0.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 14 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 10 m/sθ = 60°h = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆 1200 kg 的汽车以 12 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 20 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1200 kgv = 12 m/sr = 20 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个 1.6 kg 的球系在长 1 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 8 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.6 kgr = 1 mv_bottom = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。求它沿斜面滑行 12 m 后的速度 v。

θ = 30°μ = 0.25d = 12 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 15 kg 的物块从 30° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 215 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.25。求物块沿斜坡向上移动 3 m 后的速度 v。

m = 15 kgF = 215 Nθ = 30°μ = 0.25d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 13 m/s 水平运动的 17 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。4 kg 的碎片以 59 m/s 继续向前运动。求 13 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 17 kgu = 13 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 59 m/sm₂ = 13 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.2 kg 的小球以 28 m/s 撞到墙上，并以 14 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.2 kgv_in = 28 m/sv_out = 14 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

转动惯量为 22 kg·m² 的飞轮以 1400 rpm 转动。制动器施加 100 N·m 的恒定摩擦转矩。它需要多长时间 t 才能停下？

I = 22 kg·m²n = 1400 rpmT_b = 100 N·m

t = s

14.刚体转动困难

一个人站在无摩擦的转盘上，每只手各拿一个 3.5 kg 的哑铃，距转轴 0.9 m。人和转盘单独对转轴的转动惯量为 3.5 kg·m²。他们以 30 rpm 转动，然后把哑铃收到距转轴 0.35 m 处。把哑铃看作质点。求新的转速 n₂，单位 rpm。

I₀ = 3.5 kg·m²m = 2 × 3.5 kgr₁ = 0.9 mr₂ = 0.35 mn₁ = 30 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 1500 rpm 转动、直径 100 mm 的主动轮上。紧边张力为 600 N，松边张力为 120 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 100 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 600 NT₂ = 120 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

在一个行星齿轮系中，太阳轮有 18 个齿，每个行星轮有 15 个齿。行星架固定，太阳轮以 900 rpm 驱动。求齿圈的转速 n_r（大小）。

N_s = 18N_p = 15n_s = 900 rpm

n_r = rpm

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 220 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 11 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 4 cm 时的动能 K。

k = 220 N/mA = 11 cmx = 4 cm

K = J

19.机械振动中等

一个 40 kg 的质量块由刚度为 150 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 1220 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 40 kgk = 150 kN/mc = 1220 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 10 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 5 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: a = 0.5208 m/s²

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v = 180/3.6 = 50 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 50²/(2·2400) = 0.5208 m/s²

答案

a = 0.5208 m/s²

2.运动学

答案: h_max = 53.96 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 28·1 = 28 m/s

h₁ = ½·28·1² = 14 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 28²/(2·9.81) = 39.96 m

h_max = 14 + 39.96 = 53.96 m

答案

h_max = 53.96 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.051 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.25·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2349) = 1.051 m/s²

答案

a = 1.051 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 4.292 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (4.905 − 0)/4 = 1.226 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3.5·1.226 + 0 = 4.292 N

答案

T = 4.292 N

5.抛体运动

答案: t = 1.835 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 40° = 10.72 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 40° = 8.999 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·8.999/9.81 = 1.835 s

答案

t = 1.835 s

6.抛体运动

答案: t = 3.087 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 60° = 5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 60° = 8.66 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 20 + 8.66·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.66 + √(75 + 392.4))/9.81 = 3.087 s

答案

t = 3.087 s

7.圆周运动

答案: N = 3132 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1200·9.81 − 1200·12²/20 = 11772 − 8640 = 3132 N

答案

N = 3132 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: T_top = 23.92 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 8² − 4·9.81·1 = 24.76 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.6·24.76/1 − 1.6·9.81 = 23.92 N

答案

T_top = 23.92 N

9.功和能

答案: v = 8.17 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·12·(0.5 − 0.25·0.866)) = 8.17 m/s

答案

v = 8.17 m/s

10.功和能

答案: v = 6.62 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 15·9.81 = 147.2 N

mg·sin θ = 73.57 N

μ·mg·cos θ = 31.86 N

功–能关系

½mv² = (215 − 105.4)·3 = 328.7 J

v = √(2·328.7/15) = 6.62 m/s

答案

v = 6.62 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −1.154 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 17·13 = 221 kg·m/s

碰撞后的动量

221 = 4·59 + 13·v′₂

v′₂ = (221 − 236)/13 = −1.154 m/s

答案

v′₂ = −1.154 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: J = 8.4 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.2·(14 + 28) = 8.4 N·s

答案

J = 8.4 N·s

13.刚体转动

答案: t = 32.25 s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1400/60 = 146.6 rad/s

减速度和时间

α = T_b/I = 100/22 = 4.545 rad/s²

t = ω/α = 146.6/4.545 = 32.25 s

答案

t = 32.25 s

14.刚体转动

答案: n₂ = 63.13 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = 3.5 + 2·3.5·0.9² = 9.17 kg·m²

I₂ = 3.5 + 2·3.5·0.35² = 4.357 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 30·9.17/4.357 = 63.13 rpm

答案

n₂ = 63.13 rpm

动能增加了：多出来的能量来自人收哑铃时所做的功。

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 3.77 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 7.854 m/s

功率

P = (600 − 120)·7.854 = 3770 W = 3.77 kW

答案

P = 3.77 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: n_r = 337.5 rpm

行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。

齿圈齿数

N_r = N_s + 2·N_p = 18 + 2·15 = 48

行星架固定时的威利斯方程

n_c = 0 时，太阳轮通过起惰轮作用的行星轮驱动齿圈。

n_r = −n_s·N_s/N_r = −900·18/48 = −337.5 rpm

|n_r| = 337.5 rpm

答案

n_r = 337.5 rpm

齿圈与太阳轮转向相反。

17.弹簧与单摆

答案: L = 0.2485 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1/2π)² = 0.2485 m

答案

L = 0.2485 m

18.弹簧与单摆

答案: K = 1.155 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·220·0.11² = 1.331 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·220·0.04² = 0.176 J

动能

K = 1.331 − 0.176 = 1.155 J

答案

K = 1.155 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.249

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·40) = 4899 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 1220/4899 = 0.249

答案

ζ = 0.249

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: k_eq = 22 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 12 + 10 = 22 kN/m

答案

k_eq = 22 kN/m

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