动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 36 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.9 s，之后汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 36 km/ht_r = 0.9 sa = −7.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 5 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 5 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 16 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 16 kgθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 35° 的斜面上有一个 1 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1 kgm₂ = 3 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 10 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶部以 26 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 26 m/sθ = 60°h = 40 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车驶过路面上的一个凸起的顶部，凸起是半径为 85 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。速度超过多少 v_max 时，车轮会在顶部离开路面？

r = 85 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 210 m 的弯道倾斜 25°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 210 mθ = 25°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 110 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。求制动距离 d。

v = 110 km/hμ = 0.8g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 8 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.3）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 3 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 0.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 8 kgm₂ = 3 kgμ = 0.3d = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 7 m/s 运动的 0.5 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 15 m/s 撞到墙上，并以 12 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.35 kgv_in = 15 m/sv_out = 12 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

转动惯量为 8.5 kg·m² 的飞轮以 2100 rpm 转动。制动器施加 140 N·m 的恒定摩擦转矩。它需要多长时间 t 才能停下？

I = 8.5 kg·m²n = 2100 rpmT_b = 140 N·m

t = s

14.刚体转动困难

质量为 2 kg、长为 0.5 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 35 g 的子弹以 600 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.35 m 处并留在杆中。求撞击后瞬间杆的角速度 ω。

M = 2 kgL = 0.5 mm = 35 gv = 600 m/sd = 0.35 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 240 mm。须用一对模数为 5 mm、减速比为 3 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。大齿轮须有多少个齿 N₂？

a = 240 mmm = 5 mmi = 3

N₂ =

16.齿轮与齿轮系困难

一台 1.5 kW、2900 rpm 的电动机驱动齿轮 A（30 齿），A 与齿轮 B（45 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（32 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（48 齿）。每对齿轮啮合的效率为 96%。求输出转矩 T_out。

P = 1.5 kWn_in = 2900 rpmA = 30B = 45C = 32D = 48η_mesh = 96%

T_out = N·m

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 1.8 s，振幅为 8 cm。它从平衡位置运动到位移 4 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 1.8 sA = 8 cmx = 4 cm

t = s

19.机械振动中等

一个 80 kg 的质量块挂在刚度为 40 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.3。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 80 kgk = 40 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 60 kN/m，下弹簧 k₂ = 5 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 50 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 15.67 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 10·0.9 = 9 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 10²/(2·7.5) = 6.667 m

合计

d = 9 + 6.667 = 15.67 m

答案

d = 15.67 m

2.运动学

答案: h_max = 31.27 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 5²/(2·9.81) = 1.274 m

离地面的高度

h_max = 30 + 1.274 = 31.27 m

答案

h_max = 31.27 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.051 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.3·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.2298) = 4.051 m/s²

答案

a = 4.051 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 13.08 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 29.43 N

m₁·g·sin θ = 5.627 N

μ·m₁·g·cos θ = 2.009 N

系统的加速度

a = (29.43 − 5.627 − 2.009)/4 = 5.449 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 3·(9.81 − 5.449) = 13.08 N

答案

T = 13.08 N

5.抛体运动

答案: t = 1.766 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 60° = 5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 60° = 8.66 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·8.66/9.81 = 1.766 s

答案

t = 1.766 s

6.抛体运动

答案: α = 70.12 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 26·cos 60° = 13 m/s

v_y0 = 26·sin 60° = 22.52 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(22.52² + 2·9.81·40) = 35.94 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 35.94/13 → α = 70.12°

答案

α = 70.12°

7.圆周运动

答案: v_max = 28.88 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

法向力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·85) = 28.88 m/s

答案

v_max = 28.88 m/s

(104 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 26.85 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(210·9.81·0.332/0.9486) = 26.85 m/s

答案

v_min = 26.85 m/s

(96.67 km/h)

9.功和能

答案: d = 59.48 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 110/3.6 = 30.56 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 30.56²/(2·0.8·9.81) = 59.48 m

答案

d = 59.48 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: v = 0.7315 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 29.43·0.5 = 14.71 J

μ·m₁g·d = 0.3·78.48·0.5 = 11.77 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 2.943 → v = √(2·2.943/11) = 0.7315 m/s

答案

v = 0.7315 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −3.5 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (0.5 − 1.5)/(0.5 + 1.5)·7 = −3.5 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 1.5)·7 = 3.5 m/s

答案

v′₁ = −3.5 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: J = 9.45 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(12 + 15) = 9.45 N·s

答案

J = 9.45 N·s

13.刚体转动

答案: t = 13.35 s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·2100/60 = 219.9 rad/s

减速度和时间

α = T_b/I = 140/8.5 = 16.47 rad/s²

t = ω/α = 219.9/16.47 = 13.35 s

答案

t = 13.35 s

14.刚体转动

答案: ω = 42.99 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 2·0.5²/3 + 0.035·0.35² = 0.171 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.035·600·0.35/0.171 = 42.99 rad/s

答案

ω = 42.99 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: N₂ = 72

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·240/5 = 96

按传动比分配

N₁ = 96/(1 + 3) = 24

N₂ = 3·24 = 72

答案

N₂ = 72

16.齿轮与齿轮系

答案: T_out = 10.24 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

输出转速

n_out = 2900·(30/45)·(32/48) = 1289 rpm

ω_out = 2π·1289/60 = 135 rad/s

输出功率和转矩

P_out = 1500·0.96² = 1382 W

T_out = P_out/ω_out = 1382/135 = 10.24 N·m

答案

T_out = 10.24 N·m

17.弹簧与单摆

答案: L = 0.2485 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1/2π)² = 0.2485 m

答案

L = 0.2485 m

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.15 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/1.8 = 3.491 rad/s

求解时间

0.5 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.5) = 0.5236 rad

t = 0.5236/3.491 = 0.15 s

答案

t = 0.15 s

19.机械振动

答案: f_d = 3.395 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(40000/80) = 22.36 rad/s

f_n = 22.36/(2π) = 3.559 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.559·√(1 − 0.3²) = 3.395 Hz

答案

f_d = 3.395 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 1.529 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/60 + 1/5 → k_eq = 60·5/(60 + 5) = 4.615 kN/m

固有频率

ω_n = √(4615/50) = 9.608 rad/s

f_n = 9.608/(2π) = 1.529 Hz

答案

f_n = 1.529 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics