动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 80 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 13 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 13 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 12 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 12 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 100 N 的水平力拉前面 3 kg 的物块；7 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 7 kgm₂ = 3 kgF = 100 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 32 m/s 抛出，必须落在 65 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 32 m/sR = 65 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从地面以 23 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 12 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 23 m/sθ = 55°h_roof = 12 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个系在长 1.2 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 60° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 1.2 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.2 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.2 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 50 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。求制动距离 d。

v = 50 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2 kgh = 4.5 mL = 3 mμ = 0.15k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 26 m/s 水平运动的 11 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。4 kg 的碎片以 52 m/s 继续向前运动。求 7 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 11 kgu = 26 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 52 m/sm₂ = 7 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 28 m/s 撞到墙上，并以 13 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.15 kgv_in = 28 m/sv_out = 13 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

一台电动机在 300 rpm 时输出 670 N·m 的转矩。求它的输出功率 P，单位 kW。

T = 670 N·mn = 300 rpm

P = kW

14.刚体转动困难

一个均匀实心圆盘（质量 30 kg，半径 0.35 m）绕无摩擦的竖直轴以 550 rpm 自由旋转。一个质量为 10 kg、半径相同的薄圆环从静止状态落到它上面，圆心对准转轴，两者很快一起旋转。求它们共同的转速 n₂，单位 rpm。

M_disc = 30 kgM_ring = 10 kgR = 0.35 mn₁ = 550 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

一台 1.1 kW、960 rpm 的电动机驱动一个 4 头的蜗杆。蜗轮有 45 个齿，传动效率为 55%。求蜗轮轴上的输出转矩 T_w。

z = 4N_w = 45n = 960 rpmP = 1.1 kWη = 55%

T_w = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 150 mm 的带轮和一个 400 mm 的带轮，二者中心相距 1200 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 150 mmd₂ = 400 mmC = 1200 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.6 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.6 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个 3.1 kg 的物体连在 k = 40 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 20 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 3.1 kgk = 40 N/mA = 20 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 20 mm 之后一个周期出现峰值 16.6 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 20 mmx₁ = 16.6 mmn = 1

ζ =

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 80 kN/m 和 k₂ = 10 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: s = 32.92 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·7.5) = 32.92 m

答案

s = 32.92 m

2.运动学

答案: t = 2.991 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−5 = 13·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 13·t − 5 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (13 + √(13² + 2·9.81·5))/9.81 = 2.991 s

答案

t = 2.991 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.803 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.2·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1532) = 4.803 m/s²

答案

a = 4.803 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 70 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (100 − 29.43)/10 = 7.057 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 7·(7.057 + 2.943) = 70 N

答案

T = 70 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: θ = 19.26 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·65/32² = 0.6227

相角

2θ = 38.51° → θ = 19.26°

答案

θ = 19.26°

另一个解为 90° − θ = 70.74°。

6.抛体运动

答案: x = 40.04 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 13.19 m/s, v_y = 18.84 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

12 = 18.84·t − 4.905·t²

t = (18.84 + √(18.84² − 2·9.81·12))/9.81 = 3.035 s

水平距离

x = v_x·t = 13.19·3.035 = 40.04 m

答案

x = 40.04 m

7.圆周运动

答案: v = 4.202 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

圆的半径

r = L·sin θ = 1.2·sin 60° = 1.039 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(1.039·9.81·tan 60°) = 4.202 m/s

答案

v = 4.202 m/s

8.圆周运动

答案: v_min = 3.431 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.2) = 3.431 m/s

答案

v_min = 3.431 m/s

9.功和能

答案: d = 16.39 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 50/3.6 = 13.89 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 13.89²/(2·0.6·9.81) = 16.39 m

答案

d = 16.39 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: v = 8.914 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(4.5 − 0.15·3) = 79.46 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.05) = 8.914 m/s

答案

v = 8.914 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 11.14 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 11·26 = 286 kg·m/s

碰撞后的动量

286 = 4·52 + 7·v′₂

v′₂ = (286 − 208)/7 = 11.14 m/s

答案

v′₂ = 11.14 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 307.5 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(13 + 28) = 6.15 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 6.15/0.02 = 307.5 N

答案

F_avg = 307.5 N

13.刚体转动

答案: P = 21.05 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

功率

P = T·ω = 670·31.42 = 21049 W = 21.05 kW

答案

P = 21.05 kW

14.刚体转动

答案: n₂ = 330 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = ½·30·0.35² = 1.837 kg·m²

I₂ = 10·0.35² = 1.225 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 550·1.837/3.063 = 330 rpm

答案

n₂ = 330 rpm

15.齿轮与齿轮系

答案: T_w = 67.7 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

蜗轮转速

n_w = n·z/N_w = 960·4/45 = 85.33 rpm

输出扭矩

ω_w = 2π·85.33/60 = 8.936 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.55·1100/8.936 = 67.7 N·m

答案

T_w = 67.7 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 168 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.1042) = 5.979°

包角

θ = 180 − 2·5.979 = 168°

答案

θ = 168°

17.弹簧与单摆

答案: L = 1.68 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.6/2π)² = 1.68 m

答案

L = 1.68 m

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 2.581 m/s²

角频率

ω = √(40/3.1) = 3.592 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.2·3.592² = 2.581 m/s²

答案

a_max = 2.581 m/s²

19.机械振动

答案: ζ = 0.02964

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/1)·ln(20/16.6) = 0.1863

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1863/√(39.48 + 0.03472) = 0.02964

答案

ζ = 0.02964

20.机械振动

答案: k_eq = 90 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 80 + 10 = 90 kN/m

答案

k_eq = 90 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics