动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 3 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1000 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 3 m/s²s = 1000 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 15 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 15 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的雪橇被一根与水平方向成 25° 向上的绳子以 100 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 15 kgF = 100 Nθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 11.5 m/s 的速度开始沿 15° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 11.5 m/sθ = 15°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 38 m/s 抛出，必须落在 50 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 38 m/sR = 50 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶部以 29 m/s、与水平方向成 30° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 29 m/sθ = 30°h = 5 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一个系在长 0.4 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 25° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 0.4 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一个 0.7 kg 的小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 7 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.7 kgr = 0.8 mv = 7 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 5 kg 的球挂在长 1 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 45°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 5 kgL = 1 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.1）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 3 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 0.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 10 kgm₂ = 3 kgμ = 0.1d = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 14 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 2.5 kgh = 14 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 20 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.4 kgv_in = 11 m/sv_out = 20 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

转动惯量为 18 kg·m² 的飞轮以 1500 rpm 转动。制动器施加 130 N·m 的恒定摩擦转矩。它需要多长时间 t 才能停下？

I = 18 kg·m²n = 1500 rpmT_b = 130 N·m

t = s

14.刚体转动困难

一个均匀实心圆盘（质量 31 kg，半径 0.3 m）绕无摩擦的竖直轴以 650 rpm 自由旋转。一个质量为 6 kg、半径相同的薄圆环从静止状态落到它上面，圆心对准转轴，两者很快一起旋转。在这个过程中损失了多少动能 ΔE？

M_disc = 31 kgM_ring = 6 kgR = 0.3 mn₁ = 650 rpm

ΔE = J

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 1450 rpm 转动、直径 80 mm 的主动轮上。紧边张力为 1500 N，松边张力为 750 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 80 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 750 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（15 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（45 齿）。齿轮 C（16 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（50 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 3000 rpmA = 15B = 45C = 16D = 50

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 260 N/m 弹簧上的 2.1 kg 物体被沿正方向拉开 14 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.5 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 2.1 kgk = 260 N/mA = 14 cmt = 0.5 s

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个 0.4 kg 的物体连在 k = 130 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 2 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 0.4 kgk = 130 N/mA = 2 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 8 kg 的质量块由刚度为 150 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 880 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 8 kgk = 150 kN/mc = 880 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 50 kN/m，下弹簧 k₂ = 12 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 100 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: v = 77.46 m/s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·3·1000) = 77.46 m/s

答案

v = 77.46 m/s

(278.9 km/h)

2.运动学

答案: t = 4.256 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−25 = 15·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 15·t − 25 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (15 + √(15² + 2·9.81·25))/9.81 = 4.256 s

答案

t = 4.256 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.944 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 147.2 − 100·sin 25° = 104.9 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 90.63 − 31.47

a = 59.16/15 = 3.944 m/s²

答案

a = 3.944 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 13.47 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 15° + 0.25·cos 15°) = 4.908 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 11.5²/(2·4.908) = 13.47 m

答案

d = 13.47 m

5.抛体运动

答案: θ = 9.929 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·50/38² = 0.3397

相角

2θ = 19.86° → θ = 9.929°

答案

θ = 9.929°

另一个解为 90° − θ = 80.07°。

6.抛体运动

答案: α = 34.96 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 29·cos 30° = 25.11 m/s

v_y0 = 29·sin 30° = 14.5 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(14.5² + 2·9.81·5) = 17.56 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 17.56/25.11 → α = 34.96°

答案

α = 34.96°

7.圆周运动

答案: T = 1.208 s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

圆的半径

r = L·sin θ = 0.4·sin 25° = 0.169 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.169·9.81·tan 25°) = 0.8794 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.169/0.8794 = 1.208 s

答案

T = 1.208 s

8.圆周运动

答案: T = 49.74 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.7·9.81 + 0.7·7²/0.8 = 6.867 + 42.87 = 49.74 N

答案

T = 49.74 N

9.功和能

答案: T = 77.78 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1·(1 − cos 45°) = 5.747 m²/s²

最低点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

T = mg + mv²/L = 49.05 + 5·5.747/1 = 77.78 N

答案

T = 77.78 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 77.78 N。

10.功和能

答案: v = 1.229 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 29.43·0.5 = 14.71 J

μ·m₁g·d = 0.1·98.1·0.5 = 4.905 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 9.81 → v = √(2·9.81/13) = 1.229 m/s

答案

v = 1.229 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 416 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.14) = 1.657 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 2.5)·1.657/0.01 = 416 m/s

答案

v = 416 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 496 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(20 + 11) = 12.4 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 12.4/0.025 = 496 N

答案

F_avg = 496 N

13.刚体转动

答案: t = 21.75 s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

减速度和时间

α = T_b/I = 130/18 = 7.222 rad/s²

t = ω/α = 157.1/7.222 = 21.75 s

答案

t = 21.75 s

14.刚体转动

答案: ΔE = 901.9 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = ½·31·0.3² = 1.395 kg·m²

I₂ = 6·0.3² = 0.54 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 650·1.395/1.935 = 468.6 rpm

碰撞前后的动能

E₁ = ½·1.395·68.07² = 3232 J

E₂ = ½·1.935·49.07² = 2330 J

ΔE = 3232 − 2330 = 901.9 J

答案

ΔE = 901.9 J

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 4.555 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 6.074 m/s

功率

P = (1500 − 750)·6.074 = 4555 W = 4.555 kW

答案

P = 4.555 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 320 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 3000·15/45 = 1000 rpm = n_C

第二级

n_out = 1000·16/50 = 320 rpm

答案

n_out = 320 rpm

总传动比 = 9.375 : 1

17.弹簧与单摆

答案: v = 1.027 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(260/2.1) = 11.13 rad/s

ω·t = 11.13·0.5 = 5.563 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.14·11.13·sin(5.563) = 1.027 m/s

答案

v = 1.027 m/s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.3606 m/s

角频率

ω = √(130/0.4) = 18.03 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.02·18.03 = 0.3606 m/s

答案

v_max = 0.3606 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.4017

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·8) = 2191 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 880/2191 = 0.4017

答案

ζ = 0.4017

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: k_eq = 9.677 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/50 + 1/12 → k_eq = 50·12/(50 + 12) = 9.677 kN/m

答案

k_eq = 9.677 kN/m

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