动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 3.75 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1500 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 3.75 m/s²s = 1500 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 13 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 13 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 25° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 10 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 4 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 4 kgm₂ = 4 kgθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 30° 的角度抛出，落在 120 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 30°R = 120 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 20 m/sθ = 20°h = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆 1300 kg 的汽车以 12 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 20 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1300 kgv = 12 m/sr = 20 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一辆 3 kg 的小车在无摩擦轨道上从 1.8 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 0.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 N_bottom。

m = 3 kgh = 1.8 mR = 0.5 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.4。求它沿斜面滑行 16 m 后的速度 v。

θ = 35°μ = 0.4d = 16 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 5 kgh = 2.5 mL = 3.5 mμ = 0.1k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 10 m/s 运动的 4.5 kg 滑块与一个静止的 3 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 5 g 的子弹水平射入一个用长 0.6 m 的轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 15°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 5 gM = 3.5 kgL = 0.6 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

一根轴在 1700 rpm 时传递 1.5 kW。求轴中的转矩 T。

P = 1.5 kWn = 1700 rpm

T = N·m

14.刚体转动困难

一个质量为 13.5 kg 的空心球以 6 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的转动动能 E_rot。

m = 13.5 kgv = 6 m/sI = (2/3)·m·r²

E_rot = J

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 720 rpm 转动、直径 100 mm 的主动轮上。紧边张力为 500 N，松边张力为 200 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 100 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 500 NT₂ = 200 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（12 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（30 齿）。齿轮 C（20 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 300 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 N_D？

n_in = 3000 rpmA = 12B = 30C = 20n_out = 300 rpm

N_D =

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.9 m 的单摆在小幅摆动时周期为 2 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.9 mT = 2 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

把一个 1.3 kg 的物体挂在一根 k = 250 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求弹簧的最大伸长量 x_max，以 cm 表示。

m = 1.3 kgk = 250 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 15 mm 之后 3 个周期出现峰值 3.3 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 15 mmx₃ = 3.3 mmn = 3

ζ =

20.机械振动困难

一个 25 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 5 kN/m 和 k₂ = 12 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 25 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: v = 106.1 m/s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·3.75·1500) = 106.1 m/s

答案

v = 106.1 m/s

(381.8 km/h)

2.运动学

答案: t = 4.473 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 13·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 13·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (13 + √(13² + 2·9.81·40))/9.81 = 4.473 s

答案

t = 4.473 s

3.牛顿定律

答案: F = 50.35 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 41.46 + 8.891 = 50.35 N

答案

F = 50.35 N

4.牛顿定律

答案: a = 1.815 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 39.24 N

m₁·g·sin θ = 19.62 N

μ·m₁·g·cos θ = 5.097 N

系统的加速度

a = (39.24 − 19.62 − 5.097)/8 = 1.815 m/s²

答案

a = 1.815 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 36.87 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·120/sin 60°) = 36.87 m/s

答案

v₀ = 36.87 m/s

6.抛体运动

答案: t = 2.834 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 20° = 18.79 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 20° = 6.84 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 20 + 6.84·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6.84 + √(46.79 + 392.4))/9.81 = 2.834 s

答案

t = 2.834 s

7.圆周运动

答案: N = 3393 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1300·9.81 − 1300·12²/20 = 12753 − 9360 = 3393 N

答案

N = 3393 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: N_bottom = 241.3 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·1.8 = 35.32 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R + m·g = 3·35.32/0.5 + 29.43 = 241.3 N

答案

N_bottom = 241.3 N

9.功和能

答案: v = 8.786 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·16·(0.5736 − 0.4·0.8192)) = 8.786 m/s

答案

v = 8.786 m/s

10.功和能

答案: v = 6.495 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(2.5 − 0.1·3.5) = 105.5 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.15) = 6.495 m/s

答案

v = 6.495 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 12 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4.5 − 3)/(4.5 + 3)·10 = 2 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 3)·10 = 12 m/s

答案

v′₂ = 12 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 444 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.6·(1 − cos 15°) = 0.02044 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.02044) = 0.6333 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 3.505·0.6333/0.005 = 444 m/s

答案

v = 444 m/s

13.刚体转动

答案: T = 8.426 N·m

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1700/60 = 178 rad/s

扭矩

T = P/ω = 1500/178 = 8.426 N·m

答案

T = 8.426 N·m

14.刚体转动

答案: E_rot = 162 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·13.5·6² = 243 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.6667·m·r²·(v/r)² = 0.6667·243 = 162 J

答案

E_rot = 162 J

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 1.131 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 3.77 m/s

功率

P = (500 − 200)·3.77 = 1131 W = 1.131 kW

答案

P = 1.131 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: N_D = 80

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

中间轴转速

n_B = n_C = 3000·12/30 = 1200 rpm

齿轮 D 的齿数

N_D = C·n_C/n_out = 20·1200/300 = 80

答案

N_D = 80

17.弹簧与单摆

答案: g = 8.883 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.9/2² = 8.883 m/s²

答案

g = 8.883 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: x_max = 10.2 cm

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 1.3·9.81/250 = 0.05101 m = A

最低点

x_max = 2A = 0.102 m = 10.2 cm

答案

x_max = 10.2 cm

19.机械振动

答案: ζ = 0.08007

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/3)·ln(15/3.3) = 0.5047

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5047/√(39.48 + 0.2547) = 0.08007

答案

ζ = 0.08007

20.机械振动

答案: f_n = 4.15 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 5 + 12 = 17 kN/m

固有频率

ω_n = √(17000/25) = 26.08 rad/s

f_n = 26.08/(2π) = 4.15 Hz

答案

f_n = 4.15 Hz

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