动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 80 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 12 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 12 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

质量为 8 kg 和 5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 8 kgm₂ = 5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 4 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 24 m/s 抛出，必须落在 20 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 24 m/sR = 20 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶部以 12 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 12 m/sθ = 35°h = 20 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 135 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 135 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.9 kg 的小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 9 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.9 kgr = 0.8 mv = 9 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 5 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 12 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 5 kgθ = 25°μ = 0.25d = 12 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 1 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2.5 kgh = 1 mL = 4 mμ = 0.1k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 8 m/s 运动的 4.5 kg 滑块与一个静止的 3.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 13 m/s 撞到墙上，并以 8 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.55 kgv_in = 13 m/sv_out = 8 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

质量为 1.5 kg、长为 1.5 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间的角加速度 α。

m = 1.5 kgL = 1.5 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

一个薄圆环从静止开始，沿与水平面成 25° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它的半径为 0.2 m。求它沿斜面滚过 1.5 m 后的角速度 ω。

θ = 25°s = 1.5 mI = m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.2 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 1500 rpm 转动、直径 100 mm 的主动轮上。紧边张力为 1200 N，松边张力为 240 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 100 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 240 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（15 齿）以 1440 rpm 转动，驱动齿轮 B（40 齿）。齿轮 C（15 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（50 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1440 rpmA = 15B = 40C = 15D = 50

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1.4 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.4 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个 0.3 kg 的物体连在 k = 280 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 17 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 0.3 kgk = 280 N/mA = 17 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

一个 20 kg 的质量块挂在刚度为 200 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.7。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 20 kgk = 200 kN/mζ = 0.7

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 20 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 80 kN/m 和 k₂ = 15 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 5 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 44.89 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·5.5) = 44.89 m

答案

s = 44.89 m

2.运动学

答案: h_max = 12.34 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 12²/(2·9.81) = 7.339 m

离地面的高度

h_max = 5 + 7.339 = 12.34 m

答案

h_max = 12.34 m

3.牛顿定律

答案: a = 2.264 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (8 − 5)·9.81/(8 + 5) = 2.264 m/s²

答案

a = 2.264 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 18.11 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 7.848)/6.5 = 2.566 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·2.566 + 7.848 = 18.11 N

答案

T = 18.11 N

5.抛体运动

答案: θ = 9.957 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·20/24² = 0.3406

相角

2θ = 19.91° → θ = 9.957°

答案

θ = 9.957°

另一个解为 90° − θ = 80.04°。

6.抛体运动

答案: H = 22.41 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 12·sin 35° = 6.883 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 6.883²/(2·9.81) = 2.415 m

离地面的高度

H = 20 + 2.415 = 22.41 m

答案

H = 22.41 m

7.圆周运动

答案: v_max = 28.19 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·135) = 28.19 m/s

答案

v_max = 28.19 m/s (101.5 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 99.95 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.9·9.81 + 0.9·9²/0.8 = 8.829 + 91.12 = 99.95 N

答案

T = 99.95 N

9.功和能

答案: W_f = 133.4 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.9063 = 44.45 N

F = μN = 0.25·44.45 = 11.11 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 11.11·12 = 133.4 J

答案

W_f = 133.4 J

10.功和能

答案: x = 17.16 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(1 − 0.1·4) = 14.71 J

最大压缩量

½kx² = 14.71 → x = √(2·14.71/1000) = 0.1716 m = 17.16 cm

答案

x = 17.16 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 1 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4.5 − 3.5)/(4.5 + 3.5)·8 = 1 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 3.5)·8 = 9 m/s

答案

v′₁ = 1 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 11.55 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(8 + 13) = 11.55 N·s

答案

J = 11.55 N·s

13.刚体转动

答案: α = 9.81 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·1.5) = 9.81 rad/s²

答案

α = 9.81 rad/s²

14.刚体转动

答案: ω = 12.47 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 1.5·sin 25° = 0.6339 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9.81·0.6339/2) = 2.494 m/s

ω = v/r = 2.494/0.2 = 12.47 rad/s

答案

ω = 12.47 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 7.54 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 7.854 m/s

功率

P = (1200 − 240)·7.854 = 7540 W = 7.54 kW

答案

P = 7.54 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 162 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 1440·15/40 = 540 rpm = n_C

第二级

n_out = 540·15/50 = 162 rpm

答案

n_out = 162 rpm

总传动比 = 8.889 : 1

17.弹簧与单摆

答案: T = 2.374 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.4/9.81) = 2.374 s

答案

T = 2.374 s

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 158.7 m/s²

角频率

ω = √(280/0.3) = 30.55 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.17·30.55² = 158.7 m/s²

答案

a_max = 158.7 m/s²

19.机械振动

答案: f_d = 11.37 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(200000/20) = 100 rad/s

f_n = 100/(2π) = 15.92 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 15.92·√(1 − 0.7²) = 11.37 Hz

答案

f_d = 11.37 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 9.149 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 80 + 15 = 95 kN/m

k_eq = 95·20/(95 + 20) = 16.52 kN/m

固有频率

ω_n = √(16522/5) = 57.48 rad/s

f_n = 57.48/(2π) = 9.149 Hz

答案

f_n = 9.149 Hz

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