动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 60 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 8 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 8 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 6 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 6 kgθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 4 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 35° 的角度抛出，落在 150 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 35°R = 150 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 20 m/sθ = 30°h = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 140 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 140 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.7 kg 的小球系在长 1.1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 5.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.7 kgr = 1.1 mv = 5.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的球挂在长 3 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 20°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 0.5 kgL = 3 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一辆 10 kg 的小车从光滑轨道上 16 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 4 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 10 kgh = 16 mR = 4 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 2 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2 kgm₂ = 4 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 20 m/s 撞到墙上，并以 5 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.4 kgv_in = 20 m/sv_out = 5 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

转动惯量为 30.5 kg·m² 的飞轮以 2300 rpm 转动。制动器施加 200 N·m 的恒定摩擦转矩。它需要多长时间 t 才能停下？

I = 30.5 kg·m²n = 2300 rpmT_b = 200 N·m

t = s

14.刚体转动困难

一个实心球沿与水平面成 10° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它从静止开始。沿斜面滚下 8 m 需要多长时间 t？

θ = 10°I = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²s = 8 m

t = s

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 120 mm。须用一对模数为 2.5 mm、减速比为 3 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。小齿轮须有多少个齿 N₁？

a = 120 mmm = 2.5 mmi = 3

N₁ =

16.齿轮与齿轮系困难

一台 1.5 kW、960 rpm 的电动机驱动齿轮 A（12 齿），A 与齿轮 B（72 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（16 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（25 齿）。每对齿轮啮合的效率为 97%。求输出转矩 T_out。

P = 1.5 kWn_in = 960 rpmA = 12B = 72C = 16D = 25η_mesh = 97%

T_out = N·m

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 330 N/m 弹簧上的 1.3 kg 物体被沿正方向拉开 6 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.25 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 1.3 kgk = 330 N/mA = 6 cmt = 0.25 s

x = cm

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 3.2 s，振幅为 4 cm。它从最大位移 4 cm 处运动到位移 2.4 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 3.2 sA = 4 cmx = 2.4 cm

t = s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 10 mm 之后 3 个周期出现峰值 5.7 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 10 mmx₃ = 5.7 mmn = 3

ζ =

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 15 kN/m 和 k₂ = 50 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 5 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 25.25 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·5.5) = 25.25 m

答案

s = 25.25 m

2.运动学

答案: t = 3.42 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−30 = 8·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 8·t − 30 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (8 + √(8² + 2·9.81·30))/9.81 = 3.42 s

答案

t = 3.42 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.051 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.3·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.2298) = 4.051 m/s²

答案

a = 4.051 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 19.62 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 7.357)/6.5 = 4.905 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2.5·4.905 + 7.357 = 19.62 N

答案

T = 19.62 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 39.57 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·150/sin 70°) = 39.57 m/s

答案

v₀ = 39.57 m/s

6.抛体运动

答案: t = 3.044 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 30° = 17.32 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 30° = 10 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 15 + 10·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10 + √(100 + 294.3))/9.81 = 3.044 s

答案

t = 3.044 s

7.圆周运动

答案: v_max = 26.2 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·140) = 26.2 m/s

答案

v_max = 26.2 m/s (94.34 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 26.12 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.7·9.81 + 0.7·5.5²/1.1 = 6.867 + 19.25 = 26.12 N

答案

T = 26.12 N

9.功和能

答案: T = 5.497 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 20°) = 3.55 m²/s²

最低点的受力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·3.55/3 = 5.497 N

答案

T = 5.497 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 5.497 N。

10.功和能

答案: N = 294.3 N

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(16 − 8) = 157 m²/s²

顶点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

N = mv²/R − mg = 10·157/4 − 98.1 = 294.3 N

答案

N = 294.3 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −2 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2 − 4)/(2 + 4)·6 = −2 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 4)·6 = 4 m/s

答案

v′₁ = −2 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 1000 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(5 + 20) = 10 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 10/0.01 = 1000 N

答案

F_avg = 1000 N

13.刚体转动

答案: t = 36.73 s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·2300/60 = 240.9 rad/s

减速度和时间

α = T_b/I = 200/30.5 = 6.557 rad/s²

t = ω/α = 240.9/6.557 = 36.73 s

答案

t = 36.73 s

14.刚体转动

答案: t = 3.626 s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.4·m·r²·(a/r) → f = 0.4·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 10°/1.4 = 1.217 m/s²

时间

s = ½·a·t² → t = √(2·8/1.217) = 3.626 s

答案

t = 3.626 s

15.齿轮与齿轮系

答案: N₁ = 24

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·120/2.5 = 96

按传动比分配

N₁ = 96/(1 + 3) = 24

答案

N₁ = 24

16.齿轮与齿轮系

答案: T_out = 131.6 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

输出转速

n_out = 960·(12/72)·(16/25) = 102.4 rpm

ω_out = 2π·102.4/60 = 10.72 rad/s

输出功率和转矩

P_out = 1500·0.97² = 1411 W

T_out = P_out/ω_out = 1411/10.72 = 131.6 N·m

答案

T_out = 131.6 N·m

17.弹簧与单摆

答案: x = −3.998 cm

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(330/1.3) = 15.93 rad/s

ω·t = 15.93·0.25 = 3.983 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 6·cos(3.983) = −3.998 cm

答案

x = −3.998 cm

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.4723 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/3.2 = 1.963 rad/s

求解时间

0.6 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.6) = 0.9273 rad

t = 0.9273/1.963 = 0.4723 s

答案

t = 0.4723 s

19.机械振动

答案: ζ = 0.02981

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/3)·ln(10/5.7) = 0.1874

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1874/√(39.48 + 0.03511) = 0.02981

答案

ζ = 0.02981

20.机械振动

答案: f_n = 18.15 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 15 + 50 = 65 kN/m

固有频率

ω_n = √(65000/5) = 114 rad/s

f_n = 114/(2π) = 18.15 Hz

答案

f_n = 18.15 Hz

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