动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 36 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 36 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 34 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。发射后多长时间它落到地面？求 t。

a = 34 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 3 kg 和 1.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 3 kgm₂ = 1.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 3 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 3 kgm₂ = 3 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 12 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 17 m/sθ = 45°h = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 20 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 20 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 10 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 14 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 10 kgθ = 35°μ = 0.25d = 14 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2.5 kgh = 2.5 mL = 4 mμ = 0.15k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 11 m/s 运动的 2 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 2 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1400 kg 的汽车撞上一辆停放的 1200 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 10 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1400 kgm₂ = 1200 kgd = 10 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

一台电动机在 400 rpm 时输出 420 N·m 的转矩。求它的输出功率 P，单位 kW。

T = 420 N·mn = 400 rpm

P = kW

14.刚体转动困难

一个人站在无摩擦的转盘上，每只手各拿一个 2.5 kg 的哑铃，距转轴 0.8 m。人和转盘单独对转轴的转动惯量为 3 kg·m²。他们以 35 rpm 转动，然后把哑铃收到距转轴 0.35 m 处。把哑铃看作质点。求新的转速 n₂，单位 rpm。

I₀ = 3 kg·m²m = 2 × 2.5 kgr₁ = 0.8 mr₂ = 0.35 mn₁ = 35 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

一台 3 kW 的电动机以 960 rpm 运转，驱动一个齿数为 25 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 45 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 98%。求齿轮轴上的输出扭矩 T₂。

P = 3 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 25N₂ = 45η = 98%

T₂ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（50 齿）以 1450 rpm 转动，驱动齿轮 B（80 齿）。齿轮 C（20 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（72 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1450 rpmA = 50B = 80C = 20D = 72

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.1 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.1 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一颗以 500 m/s 运动的 15 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 3.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 1000 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 15 gv = 500 m/sM = 3.5 kgk = 1000 N/m

A = cm

19.机械振动中等

一个 25 kg 的质量块挂在刚度为 40 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.3。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 25 kgk = 40 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 100 kN/m，下弹簧 k₂ = 5 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 10 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: s = 16.67 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·3) = 16.67 m

答案

s = 16.67 m

2.运动学

答案: t = 21 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 34·2.5 = 85 m/s

h₁ = ½·34·2.5² = 106.3 m

落回地面的自由飞行

解 −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂²，取正根。

t₂ = (85 + √(85² + 2·9.81·106.3))/9.81 = 18.5 s

t = 2.5 + 18.5 = 21 s

答案

t = 21 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.27 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (3 − 1.5)·9.81/(3 + 1.5) = 3.27 m/s²

答案

a = 3.27 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 3.924 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 5.886)/6 = 3.924 m/s²

答案

a = 3.924 m/s²

5.抛体运动

答案: H = 6.481 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 70° = 4.104 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 70° = 11.28 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 11.28²/(2·9.81) = 6.481 m

答案

H = 6.481 m

6.抛体运动

答案: x = 43.12 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 45° = 12.02 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 45° = 12.02 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 20 + 12.02·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.02 + √(144.5 + 392.4))/9.81 = 3.587 s

水平距离

x = v_x·t = 12.02·3.587 = 43.12 m

答案

x = 43.12 m

7.圆周运动

答案: v_max = 9.905 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·20) = 9.905 m/s

答案

v_max = 9.905 m/s (35.66 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 3.836 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.5) = 3.836 m/s

答案

v_min = 3.836 m/s

9.功和能

答案: W_f = 281.3 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.8192 = 80.36 N

F = μN = 0.25·80.36 = 20.09 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 20.09·14 = 281.3 J

答案

W_f = 281.3 J

10.功和能

答案: x = 34.13 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(2.5 − 0.15·4) = 46.6 J

最大压缩量

½kx² = 46.6 → x = √(2·46.6/800) = 0.3413 m = 34.13 cm

答案

x = 34.13 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 12.57 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2 − 1.5)/(2 + 1.5)·11 = 1.571 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 1.5)·11 = 12.57 m/s

答案

v′₂ = 12.57 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 18.39 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·10) = 9.905 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2600·9.905/1400 = 18.39 m/s

答案

v₁ = 18.39 m/s

(66.22 km/h)

13.刚体转动

答案: P = 17.59 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·400/60 = 41.89 rad/s

功率

P = T·ω = 420·41.89 = 17593 W = 17.59 kW

答案

P = 17.59 kW

14.刚体转动

答案: n₂ = 60.07 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = 3 + 2·2.5·0.8² = 6.2 kg·m²

I₂ = 3 + 2·2.5·0.35² = 3.612 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 35·6.2/3.612 = 60.07 rpm

答案

n₂ = 60.07 rpm

动能增加了：多出来的能量来自人收哑铃时所做的功。

15.齿轮与齿轮系

答案: T₂ = 52.64 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/100.5 = 29.84 N·m

输出扭矩

T₂ = 29.84·45/25·0.98 = 52.64 N·m

答案

T₂ = 52.64 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 251.7 rpm

第一级

n_B = 1450·50/80 = 906.3 rpm = n_C

第二级

n_out = 906.3·20/72 = 251.7 rpm

答案

n_out = 251.7 rpm

总传动比 = 5.76 : 1

17.弹簧与单摆

答案: L = 1.096 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.1/2π)² = 1.096 m

答案

L = 1.096 m

18.弹簧与单摆

答案: A = 12.65 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.015·500/3.515 = 2.134 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1000/3.515) = 16.87 rad/s

振幅

A = V/ω = 2.134/16.87 = 0.1265 m = 12.65 cm

答案

A = 12.65 cm

19.机械振动

答案: f_d = 6.073 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(40000/25) = 40 rad/s

f_n = 40/(2π) = 6.366 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6.366·√(1 − 0.3²) = 6.073 Hz

答案

f_d = 6.073 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 4.762 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/100 + 1/5 → k_eq = 100·5/(100 + 5) = 4.762 kN/m

答案

k_eq = 4.762 kN/m

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