动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 108 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 20 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 20 m/s²t₁ = 2 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 10.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 14 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 10.5 m/sd = 14 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 30 N 的水平力拉前面 6 kg 的物块；2 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 2 kgm₂ = 6 kgF = 30 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 38 m/s 抛出，必须落在 125 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 38 m/sR = 125 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 25 m/sθ = 20°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 130 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 130 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一辆 2 kg 的小车在无摩擦轨道上从 28 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 8 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 N_top。

m = 2 kgh = 28 mR = 8 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。求它沿斜面滑行 13 m 后的速度 v。

θ = 40°μ = 0.25d = 13 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

在 20° 斜坡底部有一根刚度为 3000 N/m 的弹簧，它顶着一个 5 kg 的物块被压缩 15 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.2。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 5 kgk = 3000 N/mx = 15 cmθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 11 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 0.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 5 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.1 kg 的小球以 13 m/s 撞到墙上，并以 11 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.1 kgv_in = 13 m/sv_out = 11 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

质量为 4 kg、长为 1.7 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间销钉对杆的竖直力 R。

m = 4 kgL = 1.7 mg = 9.81 m/s²

R = N

14.刚体转动困难

一个空心球沿与水平面成 30° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求其质心的加速度 a。

θ = 30°I = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²

a = m/s²

15.齿轮与齿轮系中等

一个 200 mm 的带轮以 720 rpm 通过皮带驱动一个 250 mm 的带轮，打滑率为 1 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 720 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 250 mms = 1 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（15 齿）以 1440 rpm 转动，驱动齿轮 B（45 齿）。齿轮 C（18 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（36 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1440 rpmA = 15B = 45C = 18D = 36

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.9 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.9 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一颗以 350 m/s 运动的 8 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 3.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 900 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 8 gv = 350 m/sM = 3.5 kgk = 900 N/m

A = cm

19.机械振动中等

一个 50 kg 的质量块由刚度为 50 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 790 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 50 kgk = 50 kN/mc = 790 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 25 kN/m 和 k₂ = 30 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 40 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 6.667 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/4.5 = 6.667 s

答案

t = 6.667 s

2.运动学

答案: h_max = 121.5 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 20·2 = 40 m/s

h₁ = ½·20·2² = 40 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 40²/(2·9.81) = 81.55 m

h_max = 40 + 81.55 = 121.5 m

答案

h_max = 121.5 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.4014

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 10.5²/(2·14) = 3.938 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3.938/9.81 = 0.4014

答案

μ = 0.4014

4.牛顿定律

答案: T = 7.5 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (30 − 19.62)/8 = 1.297 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 2·(1.297 + 2.453) = 7.5 N

答案

T = 7.5 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: θ = 29.06 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·125/38² = 0.8492

相角

2θ = 58.13° → θ = 29.06°

答案

θ = 29.06°

另一个解为 90° − θ = 60.94°。

6.抛体运动

答案: t = 4.332 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 20° = 23.49 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 20° = 8.551 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 8.551·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.551 + √(73.11 + 1079))/9.81 = 4.332 s

答案

t = 4.332 s

7.圆周运动

答案: v_max = 25.25 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·130) = 25.25 m/s

答案

v_max = 25.25 m/s (90.91 km/h)

8.圆周运动

答案: N_top = 39.24 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(28 − 2·8) = 235.4 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 2·235.4/8 − 19.62 = 39.24 N

答案

N_top = 39.24 N

9.功和能

答案: v = 10.73 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·13·(0.6428 − 0.25·0.766)) = 10.73 m/s

答案

v = 10.73 m/s

10.功和能

答案: d = 1.298 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·3000·0.15² = 33.75 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 33.75/(49.05·(0.342 + 0.2·0.9397)) = 1.298 m

答案

d = 1.298 m

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 20 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 0.5)/(5 + 0.5)·11 = 9 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 0.5)·11 = 20 m/s

答案

v′₂ = 20 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 480 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(11 + 13) = 2.4 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 2.4/0.005 = 480 N

答案

F_avg = 480 N

13.刚体转动

答案: R = 9.81 N

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·1.7) = 8.656 rad/s²

竖直方向的力

a_G = α·L/2 = 7.357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 4·(9.81 − 7.357) = 9.81 N

答案

R = 9.81 N

R = m·g/4，与长度无关。

14.刚体转动

答案: a = 2.943 m/s²

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.6667·m·r²·(a/r) → f = 0.6667·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 30°/1.667 = 2.943 m/s²

答案

a = 2.943 m/s²

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 570.2 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

720·200/250 = 576 rpm

有打滑

n₂ = 576·0.99 = 570.2 rpm

答案

n₂ = 570.2 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 240 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 1440·15/45 = 480 rpm = n_C

第二级

n_out = 480·18/36 = 240 rpm

答案

n_out = 240 rpm

总传动比 = 6 : 1

17.弹簧与单摆

答案: T = 3.416 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.9/9.81) = 3.416 s

答案

T = 3.416 s

18.弹簧与单摆

答案: A = 4.983 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.008·350/3.508 = 0.7982 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(900/3.508) = 16.02 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.7982/16.02 = 0.04983 m = 4.983 cm

答案

A = 4.983 cm

19.机械振动

答案: ζ = 0.2498

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·50) = 3162 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 790/3162 = 0.2498

答案

ζ = 0.2498

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 5.902 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 25 + 30 = 55 kN/m

固有频率

ω_n = √(55000/40) = 37.08 rad/s

f_n = 37.08/(2π) = 5.902 Hz

答案

f_n = 5.902 Hz

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