动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 18 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 2 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 18 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 18 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 18 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 7 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 7 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 65 N 的水平力拉前面 9 kg 的物块；4 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 4 kgm₂ = 9 kgF = 65 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 12 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶部以 20 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 20 m/sθ = 45°h = 30 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.1 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 2.1 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一个半径为 60 m 的弯道倾斜 30°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 60 mθ = 30°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 40 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。求制动距离 d。

v = 40 km/hμ = 0.8g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从 15° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 55 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.3。求物块沿斜坡向上移动 8 m 后的速度 v。

m = 5 kgF = 55 Nθ = 15°μ = 0.3d = 8 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 7 m/s 运动的 2 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 14 m/s 撞到墙上，并以 11 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.35 kgv_in = 14 m/sv_out = 11 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

质量为 2.5 kg、长为 1.4 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时自由端的速度 v。

m = 2.5 kgL = 1.4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.刚体转动困难

一个质量为 2 kg 的实心球以 8 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的转动动能 E_rot。

m = 2 kgv = 8 m/sI = (2/5)·m·r²

E_rot = J

15.齿轮与齿轮系中等

一台 4 kW 的电动机以 2900 rpm 运转，驱动一个齿数为 16 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 45 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 96%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 4 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 16N₂ = 45η = 96%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 160 mm 的带轮和一个 315 mm 的带轮，二者中心相距 600 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 160 mmd₂ = 315 mmC = 600 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 360 N/m 弹簧上的 3.9 kg 物体在无摩擦表面上以 6 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 3 cm 时的速度 v。

m = 3.9 kgk = 360 N/mA = 6 cmx = 3 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个 2.3 kg 的物体连在 k = 20 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 12 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 2.3 kgk = 20 N/mA = 12 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 10 mm 之后一个周期出现峰值 8.8 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 10 mmx₁ = 8.8 mmn = 1

ζ =

20.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 80 kN/m，下弹簧 k₂ = 25 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 50 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: t = 18 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·18/2 = 18 s

答案

t = 18 s

此时警车的速度为 2v = 36 m/s。

2.运动学

答案: t = 3.929 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−5 = 18·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 18·t − 5 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (18 + √(18² + 2·9.81·5))/9.81 = 3.929 s

答案

t = 3.929 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.923 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.25·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2266) = 1.923 m/s²

答案

a = 1.923 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 3.529 m/s²

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (65 − 19.13)/13 = 3.529 m/s²

答案

a = 3.529 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 1.223 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 30° = 10.39 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 30° = 6 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·6/9.81 = 1.223 s

答案

t = 1.223 s

6.抛体运动

答案: H = 40.19 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 20·sin 45° = 14.14 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 14.14²/(2·9.81) = 10.19 m

离地面的高度

H = 30 + 10.19 = 40.19 m

答案

H = 40.19 m

7.圆周运动

答案: n = 37.68 rpm

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.3·2.1)) = 3.946 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 37.68 rpm

答案

n = 37.68 rpm

8.圆周运动

答案: v_max = 21.65 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(60·9.81·0.6299/0.791) = 21.65 m/s

答案

v_max = 21.65 m/s

(77.94 km/h)

9.功和能

答案: d = 7.865 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 40/3.6 = 11.11 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 11.11²/(2·0.8·9.81) = 7.865 m

答案

d = 7.865 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: v = 9.481 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

mg·sin θ = 12.7 N

μ·mg·cos θ = 14.21 N

功–能关系

½mv² = (55 − 26.91)·8 = 224.7 J

v = √(2·224.7/5) = 9.481 m/s

答案

v = 9.481 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −0.7778 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2 − 2.5)/(2 + 2.5)·7 = −0.7778 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 2.5)·7 = 6.222 m/s

答案

v′₁ = −0.7778 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 875 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(11 + 14) = 8.75 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 8.75/0.01 = 875 N

答案

F_avg = 875 N

13.刚体转动

答案: v = 6.419 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 = 2.5·9.81·0.7 = 17.17 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 = 2.5·1.4²/3 = 1.633 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 17.17 → ω = √(2·17.17/1.633) = 4.585 rad/s

v = ω·L = 4.585·1.4 = 6.419 m/s

答案

v = 6.419 m/s

14.刚体转动

答案: E_rot = 25.6 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·2·8² = 64 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.4·m·r²·(v/r)² = 0.4·64 = 25.6 J

答案

E_rot = 25.6 J

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 13.17 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/303.7 = 13.17 N·m

答案

T₁ = 13.17 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 165.2 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.1292) = 7.421°

包角

θ = 180 − 2·7.421 = 165.2°

答案

θ = 165.2°

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.4992 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(360/3.9) = 9.608 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 9.608·√(0.06² − 0.03²) = 0.4992 m/s

答案

v = 0.4992 m/s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.3539 m/s

角频率

ω = √(20/2.3) = 2.949 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.12·2.949 = 0.3539 m/s

答案

v_max = 0.3539 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.02034

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/1)·ln(10/8.8) = 0.1278

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1278/√(39.48 + 0.01634) = 0.02034

答案

ζ = 0.02034

20.机械振动

答案: k_eq = 19.05 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/80 + 1/25 → k_eq = 80·25/(80 + 25) = 19.05 kN/m

答案

k_eq = 19.05 kN/m

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