动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 90 km/h 行驶的汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 90 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1.5 m/s² 加速 4 s，然后匀速行驶 26 s，最后以 3 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 1.5 m/s²t₁ = 4 st₂ = 26 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 20 kgθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 1.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 5.5 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 18 m/s、与水平方向成 30° 的角度朝 11 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 18 m/sθ = 30°x = 11 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 12 m/sθ = 55°h = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 70 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 70 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 1 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 7 m，动摩擦因数为 0.35。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 1 kgθ = 35°μ = 0.35d = 7 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一辆 5 kg 的小车从光滑轨道上 4.8 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 1.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 5 kgh = 4.8 mR = 1.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 17 m/s 撞到墙上，并以 4 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.4 kgv_in = 17 m/sv_out = 4 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

质量为 9.5 kg、长为 0.9 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。一个质量为 0.5 kg 的小球固定在它的自由端。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时的角速度 ω。

m = 9.5 kgL = 0.9 mm_ball = 0.5 kgg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.刚体转动困难

一个实心球从静止开始，沿与水平面成 25° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求它沿斜面滚过 3.5 m 后的速度 v。

θ = 25°s = 3.5 mI = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 2.2 kW、1450 rpm 的电动机驱动一个 4 头的蜗杆。蜗轮有 45 个齿，传动效率为 65%。求蜗轮轴上的输出转矩 T_w。

z = 4N_w = 45n = 1450 rpmP = 2.2 kWη = 65%

T_w = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（36 齿）以 1440 rpm 转动，驱动齿轮 B（45 齿）。齿轮 C（16 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（40 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1440 rpmA = 36B = 45C = 16D = 40

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2.5 s，振幅为 5 cm。它从平衡位置运动到位移 4 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2.5 sA = 5 cmx = 4 cm

t = s

19.机械振动中等

一个 8 kg 的质量块挂在刚度为 15 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.6。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 8 kgk = 15 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 100 kN/m，下弹簧 k₂ = 10 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: s = 39.06 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·8) = 39.06 m

答案

s = 39.06 m

2.运动学

答案: s = 174 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

最高速度

v = a₁·t₁ = 1.5·4 = 6 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·1.5·4² = 12 m

s₂ = 6·26 = 156 m

s₃ = 6²/(2·3) = 6 m

总距离

s = 12 + 156 + 6 = 174 m

答案

s = 174 m

3.牛顿定律

答案: a = 2.812 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.15·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1359) = 2.812 m/s²

答案

a = 2.812 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 6.438 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 53.96 N

m₁·g·sin θ = 6.219 N

μ·m₁·g·cos θ = 2.667 N

系统的加速度

a = (53.96 − 6.219 − 2.667)/7 = 6.438 m/s²

答案

a = 6.438 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 3.908 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 18·cos 30° = 15.59 m/s

t = x/v_x = 11/15.59 = 0.7057 s

此时的高度

y = 9·0.7057 − ½·9.81·0.7057² = 3.908 m

答案

y = 3.908 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: t = 2.424 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 55° = 6.883 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 55° = 9.83 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 9.83·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.83 + √(96.63 + 98.1))/9.81 = 2.424 s

答案

t = 2.424 s

7.圆周运动

答案: v_max = 16.57 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·70) = 16.57 m/s

答案

v_max = 16.57 m/s (59.66 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 2.215 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.5) = 2.215 m/s

答案

v_min = 2.215 m/s

9.功和能

答案: W_f = 19.69 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.8192 = 8.036 N

F = μN = 0.35·8.036 = 2.813 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 2.813·7 = 19.69 J

答案

W_f = 19.69 J

10.功和能

答案: N = 68.67 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(4.8 − 3) = 35.32 m²/s²

顶点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·35.32/1.5 − 49.05 = 68.67 N

答案

N = 68.67 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 2.692 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 1.5)/(5 + 1.5)·5 = 2.692 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1.5)·5 = 7.692 m/s

答案

v′₁ = 2.692 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 168 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(4 + 17) = 8.4 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 8.4/0.05 = 168 N

答案

F_avg = 168 N

13.刚体转动

答案: ω = 5.587 rad/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 9.5·9.81·0.45 + 0.5·9.81·0.9 = 46.35 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 2.565 + 0.405 = 2.97 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 46.35 → ω = √(2·46.35/2.97) = 5.587 rad/s

答案

ω = 5.587 rad/s

14.刚体转动

答案: v = 4.553 m/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 3.5·sin 25° = 1.479 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.4)

v = √(2·9.81·1.479/1.4) = 4.553 m/s

答案

v = 4.553 m/s

15.齿轮与齿轮系

答案: T_w = 105.9 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

蜗轮转速

n_w = n·z/N_w = 1450·4/45 = 128.9 rpm

输出扭矩

ω_w = 2π·128.9/60 = 13.5 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.65·2200/13.5 = 105.9 N·m

答案

T_w = 105.9 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 460.8 rpm

第一级

n_B = 1440·36/45 = 1152 rpm = n_C

第二级

n_out = 1152·16/40 = 460.8 rpm

答案

n_out = 460.8 rpm

总传动比 = 3.125 : 1

17.弹簧与单摆

答案: L = 0.2485 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1/2π)² = 0.2485 m

答案

L = 0.2485 m

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.369 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/2.5 = 2.513 rad/s

求解时间

0.8 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.8) = 0.9273 rad

t = 0.9273/2.513 = 0.369 s

答案

t = 0.369 s

19.机械振动

答案: f_d = 5.513 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(15000/8) = 43.3 rad/s

f_n = 43.3/(2π) = 6.892 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6.892·√(1 − 0.6²) = 5.513 Hz

答案

f_d = 5.513 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 9.091 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/100 + 1/10 → k_eq = 100·10/(100 + 10) = 9.091 kN/m

答案

k_eq = 9.091 kN/m

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