动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 2 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 900 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 2 m/s²s = 900 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 8 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 8 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 16 kg 的物块沿倾角为 45° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 16 kgθ = 45°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 7.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 9.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 7.5 kgm₂ = 9.5 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 38 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 23 m/sθ = 35°h = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 80 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 80 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 140 m 的弯道倾斜 18°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 140 mθ = 18°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 0.2 kg 的球挂在长 1.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 20°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 0.2 kgL = 1.5 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2 kgh = 3.5 mL = 3 mμ = 0.2k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 4 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 4 kgh = 4 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 22 m/s 向东行驶的 1600 kg 汽车与一辆以 16 m/s 向北行驶的 1300 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1600 kgv₁ = 22 m/s (E)m₂ = 1300 kgv₂ = 16 m/s (N)

v′ = m/s

13.刚体转动中等

一根轴在 2800 rpm 时传递 114.5 kW。求轴中的转矩 T。

P = 114.5 kWn = 2800 rpm

T = N·m

14.刚体转动困难

质量为 4.5 kg、长为 0.7 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 5 g 的子弹以 360 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.38 m 处并留在杆中。求撞击后瞬间杆的角速度 ω。

M = 4.5 kgL = 0.7 mm = 5 gv = 360 m/sd = 0.38 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一个 120 mm 的带轮以 1500 rpm 通过皮带驱动一个 250 mm 的带轮，打滑率为 2 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 1500 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 250 mms = 2 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（16 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（24 齿）。齿轮 C（16 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（25 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 3000 rpmA = 16B = 24C = 16D = 25

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 430 N/m 弹簧上的 4 kg 物体在无摩擦表面上以 16 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 12 cm 时的速度 v。

m = 4 kgk = 430 N/mA = 16 cmx = 12 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 250 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 12 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 1 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 250 N/mA = 12 cmx = 1 cm

U = J

19.机械振动中等

一个 12 kg 的质量块由刚度为 80 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 160 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 12 kgk = 80 kN/mc = 160 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 20 kN/m 和 k₂ = 50 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 50 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: v = 60 m/s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·2·900) = 60 m/s

答案

v = 60 m/s

(216 km/h)

2.运动学

答案: t = 3.608 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−35 = 8·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 8·t − 35 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (8 + √(8² + 2·9.81·35))/9.81 = 3.608 s

答案

t = 3.608 s

3.牛顿定律

答案: a = 6.937 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0) = 6.937 m/s²

答案

a = 6.937 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 2.672 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 93.2 N

m₁·g·sin θ = 31.09 N

μ·m₁·g·cos θ = 16.67 N

系统的加速度

a = (93.2 − 31.09 − 16.67)/17 = 2.672 m/s²

答案

a = 2.672 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 138.3 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 35° = 31.13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 35° = 21.8 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·21.8/9.81 = 4.444 s

水平距离

x = v_x·t = 31.13·4.444 = 138.3 m

答案

x = 138.3 m

6.抛体运动

答案: t = 4.335 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 35° = 18.84 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 35° = 13.19 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 13.19·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13.19 + √(174 + 686.7))/9.81 = 4.335 s

答案

t = 4.335 s

7.圆周运动

答案: v_max = 17.72 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·80) = 17.72 m/s

答案

v_max = 17.72 m/s (63.78 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 5.584 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(140·9.81·0.0237/1.044) = 5.584 m/s

答案

v_min = 5.584 m/s

(20.1 km/h)

9.功和能

答案: T = 2.199 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 20°) = 1.775 m²/s²

最低点的受力

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

T = mg + mv²/L = 1.962 + 0.2·1.775/1.5 = 2.199 N

答案

T = 2.199 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 2.199 N。

10.功和能

答案: v = 7.543 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(3.5 − 0.2·3) = 56.9 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.9) = 7.543 m/s

答案

v = 7.543 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 443.8 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.04) = 0.8859 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 4)·0.8859/0.008 = 443.8 m/s

答案

v = 443.8 m/s

12.动量与碰撞

答案: v′ = 14.1 m/s

动量分量

p_x = 1600·22 = 35200 kg·m/s

p_y = 1300·16 = 20800 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 40886/2900 = 14.1 m/s

答案

v′ = 14.1 m/s

13.刚体转动

答案: T = 390.5 N·m

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·2800/60 = 293.2 rad/s

扭矩

T = P/ω = 114500/293.2 = 390.5 N·m

答案

T = 390.5 N·m

14.刚体转动

答案: ω = 0.9297 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 4.5·0.7²/3 + 0.005·0.38² = 0.7357 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.005·360·0.38/0.7357 = 0.9297 rad/s

答案

ω = 0.9297 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 705.6 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

1500·120/250 = 720 rpm

有打滑

n₂ = 720·0.98 = 705.6 rpm

答案

n₂ = 705.6 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 1280 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 3000·16/24 = 2000 rpm = n_C

第二级

n_out = 2000·16/25 = 1280 rpm

答案

n_out = 1280 rpm

总传动比 = 2.344 : 1

17.弹簧与单摆

答案: v = 1.097 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(430/4) = 10.37 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 10.37·√(0.16² − 0.12²) = 1.097 m/s

答案

v = 1.097 m/s

18.弹簧与单摆

答案: U = 0.0125 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·250·0.12² = 1.8 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·250·0.01² = 0.0125 J

答案

U = 0.0125 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.08165

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·12) = 1960 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 160/1960 = 0.08165

答案

ζ = 0.08165

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 5.955 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 20 + 50 = 70 kN/m

固有频率

ω_n = √(70000/50) = 37.42 rad/s

f_n = 37.42/(2π) = 5.955 Hz

答案

f_n = 5.955 Hz

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