动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 72 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 40 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 19 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 40 mv_0B = 19 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 3 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 3 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 130 N 的水平力拉前面 8 kg 的物块；9 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 9 kgm₂ = 8 kgF = 130 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 16 m/s、与水平方向成 50° 的角度朝 21 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 16 m/sθ = 50°x = 21 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 28 m/sθ = 15°h = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 140 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 140 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一辆小车在无摩擦轨道上由静止释放，驶入一个半径为 6.5 m 的竖直圆环。它必须从高出圆环底部至少多高 h_min 处出发，才能在圆环顶部保持在轨道上？

R = 6.5 mv₀ = 0

h_min = m

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 1000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.05 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 4 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.05 kgk = 1000 N/mx = 4 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 15 kg 的物块从 20° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 130 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.1。求物块沿斜坡向上移动 4 m 后的速度 v。

m = 15 kgF = 130 Nθ = 20°μ = 0.1d = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 8 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 15 m/s 撞到墙上，并以 18 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.6 kgv_in = 15 m/sv_out = 18 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

一根轴在 1900 rpm 时传递 145 kW。求轴中的转矩 T。

P = 145 kWn = 1900 rpm

T = N·m

14.刚体转动困难

一个质量为 11 kg 的空心球以 2 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的总动能 E_k。

m = 11 kgv = 2 m/sI = (2/3)·m·r²

E_k = J

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 33.75 mm。须用一对模数为 1.5 mm、减速比为 2 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。大齿轮须有多少个齿 N₂？

a = 33.75 mmm = 1.5 mmi = 2

N₂ =

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 125 mm 的带轮和一个 400 mm 的带轮，二者中心相距 1200 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 125 mmd₂ = 400 mmC = 1200 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.5 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.5 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 380 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 12 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 4 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 380 N/mA = 12 cmx = 4 cm

U = J

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 15 mm 之后 5 个周期出现峰值 2.3 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 15 mmx₅ = 2.3 mmn = 5

ζ =

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 5 kN/m，下弹簧 k₂ = 30 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 10 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 66.67 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·3) = 66.67 m

答案

s = 66.67 m

2.运动学

答案: y = 18.26 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

40 − ½g·t² = 19·t − ½g·t² → t = 40/19 = 2.105 s

相遇高度

y = 19·2.105 − ½·9.81·2.105² = 18.26 m

答案

y = 18.26 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.512 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

答案

a = 1.512 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 68.82 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (130 − 33.35)/17 = 5.685 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 9·(5.685 + 1.962) = 68.82 N

答案

T = 68.82 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: y = 4.576 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 16·cos 50° = 10.28 m/s

t = x/v_x = 21/10.28 = 2.042 s

此时的高度

y = 12.26·2.042 − ½·9.81·2.042² = 4.576 m

答案

y = 4.576 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: t = 3.51 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 15° = 27.05 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 15° = 7.247 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 7.247·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.247 + √(52.52 + 686.7))/9.81 = 3.51 s

答案

t = 3.51 s

7.圆周运动

答案: v_max = 23.44 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·140) = 23.44 m/s

答案

v_max = 23.44 m/s (84.38 km/h)

8.圆周运动

答案: h_min = 16.25 m

顶部的条件

m·g = m·v²/R → v² = g·R

能量守恒

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·6.5 = 16.25 m

答案

h_min = 16.25 m

9.功和能

答案: h = 1.631 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 4 cm = 0.04 m

½kx² = ½·1000·0.04² = 0.8 J

高度

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 0.8/0.4905 = 1.631 m

答案

h = 1.631 m

10.功和能

答案: v = 5.926 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 15·9.81 = 147.2 N

mg·sin θ = 50.33 N

μ·mg·cos θ = 13.83 N

功–能关系

½mv² = (130 − 64.16)·4 = 263.4 J

v = √(2·263.4/15) = 5.926 m/s

答案

v = 5.926 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −0.8889 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4 − 5)/(4 + 5)·8 = −0.8889 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 5)·8 = 7.111 m/s

答案

v′₁ = −0.8889 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 3960 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(18 + 15) = 19.8 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 19.8/0.005 = 3960 N

答案

F_avg = 3960 N

13.刚体转动

答案: T = 728.8 N·m

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1900/60 = 199 rad/s

扭矩

T = P/ω = 145000/199 = 728.8 N·m

答案

T = 728.8 N·m

14.刚体转动

答案: E_k = 36.67 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·11·2² = 22 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.6667·m·r²·(v/r)² = 0.6667·22 = 14.67 J

合计

E_k = 22 + 14.67 = 36.67 J

答案

E_k = 36.67 J

15.齿轮与齿轮系

答案: N₂ = 30

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·33.75/1.5 = 45

按传动比分配

N₁ = 45/(1 + 2) = 15

N₂ = 2·15 = 30

答案

N₂ = 30

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 166.8 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.1146) = 6.58°

包角

θ = 180 − 2·6.58 = 166.8°

答案

θ = 166.8°

17.弹簧与单摆

答案: T = 3.172 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.5/9.81) = 3.172 s

答案

T = 3.172 s

18.弹簧与单摆

答案: U = 0.304 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·380·0.12² = 2.736 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·380·0.04² = 0.304 J

答案

U = 0.304 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.05958

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/5)·ln(15/2.3) = 0.375

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.375/√(39.48 + 0.1406) = 0.05958

答案

ζ = 0.05958

20.机械振动

答案: f_n = 3.295 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/5 + 1/30 → k_eq = 5·30/(5 + 30) = 4.286 kN/m

固有频率

ω_n = √(4286/10) = 20.7 rad/s

f_n = 20.7/(2π) = 3.295 Hz

答案

f_n = 3.295 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics