电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 12 ΩIR1​R3​ = 6 Ω+−V1​24 VR2​4 ΩAR4​3 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 24 VR1 = 12 ΩR2 = 4 ΩR3 = 6 ΩR4 = 3 Ω
IR1 = A
2.串并联电阻困难
R1​ = 12 ΩIR1​R3​ = 10 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​10 ΩAR4​3 ΩBR6​30 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 18 VR1 = 12 ΩR2 = 10 ΩR3 = 10 ΩR4 = 3 ΩR5 = 12 ΩR6 = 30 Ω
IR1 = A
3.节点分析中等
R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAR4​12 ΩBIs​4 A

用节点分析法求电流源 Is 输出的功率 PIs。

V1 = 9 VIs = 4 AR1 = 12 ΩR2 = 12 ΩR3 = 15 ΩR4 = 12 Ω
PIs = W
4.节点分析困难
R1​ = 12 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​8 ΩAR4​30 ΩBIs​?

调节电流源，使节点 A 的电压为 VA = 19 V。用节点分析法求电源电流 Is（方向如图所示）。

V1 = 18 VR1 = 12 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 ΩR4 = 30 ΩVA = 19 V
Is = A
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 12 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 18 VR1 = 12 ΩR2 = 6 ΩR3 = 12 Ω
Vth = V
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAIs​1 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 12 VIs = 1 AR1 = 4 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 Ω
IN = A
7.RC 和 RL 暂态中等
R = 22 Ωt = 0L33 mHi(t)

电感中流过 1 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 电流降到 0.5 A 需要多长时间？求 t。

i(0) = 1 AR = 22 ΩL = 33 mH
t = ms
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​6 VR1​ = 47 ΩR2​ = 33 Ω在 t = 0 断开L150 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 求 t = 5 ms 时的电感电流 i。

Vs = 6 VR1 = 47 ΩR2 = 33 ΩL = 150 mHt = 5 ms
i = A
9.交流阻抗和相量中等
24 V100 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 4.7 µFI

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
100 V200 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 4.7 µFI

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF
I = A
11.交流功率和功率因数中等
120 VR + jXP = 1785 W17.5 A

一个感性负载从 120 V（有效值）的单相电源吸取 17.5 A 和 1785 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。 求 R。

V = 120 VI = 17.5 AP = 1785 W
R = Ω
12.交流功率和功率因数困难
P = 10 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 240 V、60 Hz 电源吸取 10 kW，功率因数为 0.75（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。 求新的线路电流 Inew。

P = 10 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.9V = 240 Vf = 60 Hz
Inew = A
13.三相电中等
ABCVL​ = 415 VZ = 5 + j12 Ω每相

一个每相阻抗为 5 + j12 Ω 的对称 Δ 联结负载接在线电压为 415 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 415 VZ = 5 + j12 Ω 每相
P = kW
14.三相电困难
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 80 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 80 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.92VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.变压器中等
RL​ = 6 Ω41960 VV2​I1​ = ?I2​

一台匝数比 N₁:N₂ = 4:1 的理想变压器，一次绕组加 960 V 电压。二次绕组两端接一个 6 Ω 的电阻。求一次电流 I1。

N1:N2 = 4:1V1 = 960 VRL = 6 Ω
I1 = A
16.变压器困难
200 kVA

一台单相 200 kVA 变压器的铁损为 1200 W，额定负载下铜损为 3000 W。 在多大负载 Sη,max（以 kVA 计）时其效率最高？

S = 200 kVAPcore = 1200 WPcu,fl = 3000 W
Sη,max = kVA

3溶液

1.串并联电阻

答案: IR1 = 1.625 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 12 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​24 VR2​4 ΩAR4​3 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 6 + 3 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 4·9/(4+9) = 2.769 Ω
Req = R1 + 2.769 = 12 + 2.769 = 14.77 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/14.77 = 1.625 A

答案

IR1 = 1.625 A
2.串并联电阻

答案: IR1 = 1.022 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 12 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​10 ΩAR4​3 ΩBR6​30 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 12 + 30 = 42 Ω
R4 ∥ 42 = 2.8 Ω
R3 + 2.8 = 12.8 Ω
R2 ∥ 12.8 = 5.614 Ω
Req = R1 + 5.614 = 12 + 5.614 = 17.61 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 18/17.61 = 1.022 A

答案

IR1 = 1.022 A
3.节点分析

答案: PIs = 128.7 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/12 + (VA − 9)/12 + (VA − VB)/15 = 0
0.2333·VA − 0.06667·VB = 0.75

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/12 + (VB − VA)/15 = 4
−0.06667·VA + 0.15·VB = 4

求解

Δ = (0.2333)(0.15) − (−0.06667)(−0.06667) = 0.03056
VA = Δ1/Δ = 0.3792/0.03056 = 12.41 V
VB = Δ2/Δ = 0.9833/0.03056 = 32.18 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 VB。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

PIs = VB·Is = 32.18·4 = 128.7 W

答案

PIs = 128.7 W
4.节点分析

答案: Is = 3.256 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

VA 已知，所以这个方程给出 VB。

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(19 − 18)/12 + 19/8 = (VB − 19)/2
2.458 = (VB − 19)/2 → VB = 23.92 V

节点 B 的 KCL

经电阻从 B 流出的电流等于电源注入 B 的电流。

Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (23.92 − 19)/2 + 23.92/30 = 3.256 A

答案

Is = 3.256 A
5.戴维南和诺顿

答案: Vth = 6 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​6 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·6/(12+6) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 12 = 16 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·6/(12+6) = 6 V
6.戴维南和诺顿

答案: IN = 1.652 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​20 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 4·20/(4+20) = 3.333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.333 + 12 = 15.33 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 10 + 1·3.333 = 13.33 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 13.33 + 1·12 = 25.33 V
IN​1.652 ARth​15.33 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 25.33/15.33 = 1.652 A
7.RC 和 RL 暂态

答案: t = 1.04 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 33 mH / 22 Ω = 1.5 ms

求解时间

0.5 = 1·e−t/τ → t = τ·ln(1/0.5)
t = 1.5·ln(2) = 1.04 ms

答案

t = 1.04 ms
8.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.07866 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 6/47 = 0.1277 A
i(∞) = 6/(47 + 33) = 0.075 A
τ = L/R = 150/80 = 1.875 ms
i(t) = 0.075 + (0.1277 − 0.075)·e−t/τ

给定时刻的电流

i(5) = 0.075 + (0.05266)·e−5/1.875 = 0.07866 A

答案

i = 0.07866 A
9.交流阻抗和相量

答案: I = 0.07347 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.02 = 12.57 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·4.7·10⁻⁶) = 338.6 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−326.1)²) = 326.7 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 24/326.7 = 0.07347 A

答案

I = 0.07347 A
10.交流阻抗和相量

答案: I = 0.8728 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.2 = 251.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·4.7·10⁻⁶) = 169.3 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (82.01)²) = 114.6 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 100/114.6 = 0.8728 A

答案

I = 0.8728 A
11.交流功率和功率因数

答案: R = 5.829 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 1785/17.5² = 5.829 Ω

答案

R = 5.829 Ω
12.交流功率和功率因数

答案: Inew = 46.3 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 10·tan(41.41°) = 8.819 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 10·tan(25.84°) = 4.843 kvar
QC = Q1 − Q2 = 3.976 kvar

新的线路电流

Inew = P/(V·cos φ2) = 10000/(240·0.9) = 46.3 A

答案

Inew = 46.3 A
13.三相电

答案: P = 15.29 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = VL = 415 V

相电流

|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω
Iph = 415/13 = 31.92 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·31.92²·5 = 15.29 kW

答案

P = 15.29 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.3846，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

14.三相电

答案: Cph = 305.2 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 80·tan(acos 0.65) = 80·1.169 = 93.53 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.92) = 80·0.426 = 34.08 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 59.45 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 19817/(377·415²) = 305.2 µF

答案

Cph = 305.2 µF
15.变压器

答案: I1 = 10 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

二次电压和电流

V2 = 960/4 = 240 V
I2 = 240/6 = 40 A

一次电流

理想变压器没有损耗：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I1 = I2/4 = 10 A

答案

I1 = 10 A

验算：从一次侧看负载为 a²·RL = 96 Ω，960/96 得到相同的电流。

16.变压器

答案: Sη,max = 126.5 kVA

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

铜损等于铁损

x²·3000 = 1200 → x = √(1200/3000) = 0.6325

最高效率时的负载

Sη,max = x·S = 0.6325·200 = 126.5 kVA

答案

Sη,max = 126.5 kVA

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