电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 12 ΩIR1​R3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​5 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 24 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 3 ΩR4 = 5 Ω
IR1 = A
2.串并联电阻困难
R1​ = 4 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​15 ΩBR6​20 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 6 VR1 = 4 ΩR2 = 6 ΩR3 = 15 ΩR4 = 15 ΩR5 = 8 ΩR6 = 20 Ω
Req = Ω
3.节点分析中等
−+Vs​ = 4 VIx​Is​1 AAR1​8 ΩR2​8 ΩB

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 VB − VA = Vₛ。 用含超节点的节点分析法求流过电压源的电流 Ix，方向如箭头所示从 A 到 B。

Is = 1 AVs = 4 VR1 = 8 ΩR2 = 8 Ω
Ix = A
4.节点分析困难
R1​ = 20 Ω+−Vs​ = 15 VIx​+−V1​18 VR2​8 ΩAR3​2 ΩBIs​2.5 A

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 A，所以它使 VA − VB = Vₛ。 用含超节点的节点分析法求流过电压源的电流 Ix，方向如箭头所示从 A 到 B。

V1 = 18 VIs = 2.5 AVs = 15 VR1 = 20 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 Ω
Ix = A
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 12 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 10 VR1 = 12 ΩR2 = 12 ΩR3 = 12 Ω
IN = A
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 25 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​5 VR2​15 ΩAIs​6 ABRL​10 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 10 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 5 VIs = 6 AR1 = 25 ΩR2 = 15 ΩR3 = 30 ΩRL = 10 Ω
PL = W
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​24 Vt = 0R = 68 ΩL100 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 24 VR = 68 ΩL = 100 mHt = 1 ms
vL = V
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​10 Vt = 0R = 6.8 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 18 V，极性如图所示。 求 t = 120 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 10 VR = 6.8 kΩC = 68 µFvC(0) = 18 Vt = 120 ms
vC = V
9.交流阻抗和相量中等
230 V200 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 100 µFI

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 100 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
VfR = 20 ΩL = 1 mHC = 0.22 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 20 Ω，L = 1 mH，C = 0.22 µF。 求其谐振时的品质因数 Q。

R = 20 ΩL = 1 mHC = 0.22 µF
Q =
11.交流功率和功率因数中等
240 VZ6 + j8 ΩI

一个阻抗为 Z = 6 + j8 Ω 的负载接在 240 V（有效值）的单相电源上。 求它吸收的无功功率 Q。

V = 240 VZ = 6 + j8 Ω
Q = var
12.交流功率和功率因数困难
120 V60 HzRs​ = 8 ΩXs​ = j30 ΩZL​ = ?

一个 120 V（有效值）、60 Hz 的电源具有内阻抗 Zs = 8 + j30 Ω。负载阻抗 ZL 可以自由选择。 求能传输给负载的最大有功功率 Pmax。

Vs = 120 V (rms)f = 60 HzZs = 8 + j30 Ω
Pmax = W
13.三相电中等
ABCVL​ = 208 VNZ = 12 + j9 Ω每相

一个每相阻抗为 12 + j9 Ω 的对称 Y 联结负载接在线电压为 208 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 208 VZ = 12 + j9 Ω 每相
P = kW
14.三相电困难
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 200 kW，功率因数为 0.8（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 200 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.95VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.变压器中等
2 Ω81

一个 2 Ω 的电阻接在匝数比 N₁:N₂ = 8:1 的理想变压器二次绕组两端。求从一次绕组看进去的电阻 R1′。

N1:N2 = 8:1RL = 2 Ω
R1′ = Ω
16.变压器困难
pf 0.95200 kVA, 50% 负载

一台单相 200 kVA 变压器的铁损为 1200 W，额定负载下铜损为 2400 W。 它以 0.95（滞后）的功率因数提供额定 kVA 的 50%。求此负载下的总损耗 Ploss，以 W 计。

S = 200 kVAPcore = 1200 WPcu,fl = 2400 Wx = 0.5pf = 0.95
Ploss = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: IR1 = 1.692 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 12 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​5 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 3 + 5 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 3·8/(3+8) = 2.182 Ω
Req = R1 + 2.182 = 12 + 2.182 = 14.18 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/14.18 = 1.692 A

答案

IR1 = 1.692 A
2.串并联电阻

答案: Req = 8.83 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 4 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​15 ΩBR6​20 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 8 + 20 = 28 Ω
R4 ∥ 28 = 9.767 Ω
R3 + 9.767 = 24.77 Ω
R2 ∥ 24.77 = 4.83 Ω
Req = R1 + 4.83 = 4 + 4.83 = 8.83 Ω

答案

Req = 8.83 Ω
3.节点分析

答案: Ix = 0.75 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

VB = VA + Vs = VA + 4
VA/R1 + VB/R2 = Is

求解

VA/8 + (VA + 4)/8 = 1
VA = (1 − 4/8)/(1/8 + 1/8) = 2 V
VB = 2 + 4 = 6 V

流过电压源的电流

从 A 经电压源流到 B 的全部电流都经 R₂ 离开节点 B。

Ix = VB/R2 = 6/8 = 0.75 A

答案

Ix = 0.75 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: Ix = −1.926 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

VB = VA − 15
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is

求解

(VA − 18)/20 + VA/8 + (VA − 15)/2 = 2.5
VA·(1/20 + 1/8 + 1/2) = 2.5 + 18/20 + 15/2 = 10.9
VA = 10.9/0.675 = 16.15 V
VB = 1.148 V

流过电压源的电流

仅在节点 A 列 KCL：经 R₁ 流入的电流从 R₂ 和电压源流出。

IR1 = (18 − 16.15)/20 = 0.09259 A
Ix = IR1 − VA/R2 = 0.09259 − 16.15/8 = −1.926 A

答案

Ix = −1.926 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

5.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.2778 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​12 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·12/(12+12) = 6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6 + 12 = 18 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·12/(12+12) = 5 V
IN​0.2778 ARth​18 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 5/18 = 0.2778 A
6.戴维南和诺顿

答案: PL = 232.6 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 25 ΩR3​ = 30 Ω短路R2​15 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 25·15/(25+15) = 9.375 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 9.375 + 30 = 39.38 Ω
R1​ = 25 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​5 VR2​15 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1.875 + 6·9.375 = 58.13 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 58.13 + 6·30 = 238.1 V
Rth​ = 39.38 Ω+−Vth​238.1 VRL​10 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 238.1/(39.38 + 10) = 4.823 A
PL = IL²·RL = 4.823²·10 = 232.6 W
7.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 12.16 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 68 Ω = 1.471 ms
i(∞) = Vs/R = 24/68 = 0.3529 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 24·e−1/1.471 = 12.16 V

答案

vL = 12.16 V
8.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 16.17 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 68 µF = 462.4 ms
vC(t) = 10 + (18 − 10)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(120) = 10 + (8)·e−120/462.4 = 16.17 V

答案

vC = 16.17 V
9.交流阻抗和相量

答案: I = 3.387 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.05 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7.958 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (54.87)²) = 67.91 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 230/67.91 = 3.387 A

答案

I = 3.387 A
10.交流阻抗和相量

答案: Q = 3.371

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.001·0.22·10⁻⁶)) = 10730 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.001/(0.22·10⁻⁶)) = 3.371

答案

Q = 3.371
11.交流功率和功率因数

答案: Q = 4608 var

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω
I = V/|Z| = 240/10 = 24 A

无功功率

Q = I²·X = 24²·8 = 4608 var

答案

Q = 4608 var
12.交流功率和功率因数

答案: Pmax = 450 W

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

ZL = Zs* = 8 − j30 Ω

最大功率

I = Vs/(2Rs) = 120/16 = 7.5 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 120²/(4·8) = 450 W

答案

Pmax = 450 W
13.三相电

答案: P = 2.307 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = 208/√3 = 120.1 V

相电流

|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω
Iph = 120.1/15 = 8.006 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·8.006²·12 = 2.307 kW

答案

P = 2.307 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.8，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

14.三相电

答案: Cph = 1397 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 200·tan(acos 0.8) = 200·0.75 = 150 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0.95) = 200·0.3287 = 65.74 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 84.26 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 28088/(377·230.9²) = 1397 µF

答案

Cph = 1397 µF
15.变压器

答案: R1′ = 128 Ω

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

折算电阻

电压升高 a 倍，电流降低 a 倍，所以比值 V/I 增大 a² 倍。

R1′ = a²·RL = 8²·2 = 128 Ω

答案

R1′ = 128 Ω
16.变压器

答案: Ploss = 1800 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

此负载下的铜损

Pcu = x²·Pcu,fl = 0.25·2400 = 600 W

总损耗

铁损在任何负载下都相同。

Ploss = 1200 + 600 = 1800 W

答案

Ploss = 1800 W

此负载下的效率为 η = 98.14%。

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