电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

变压器

匝数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
电流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
额定电流: I = S/V
折算阻抗: Z₁′ = a²·Z_L
部分负载时的铜损: P_cu = x²·P_cu,fl
效率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最高效率: x = √(P_core/P_cu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 36 VR₁ = 12 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 24 VI_s = 5 AR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

4.节点分析困难

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.05·V_A（单位 A，V_A 单位为 V）。用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 2 Ωg = 0.05 A/V

V_A = V

5.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 Ω

R_th = Ω

6.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 5 VI_s = 2.5 AR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 Ω

V_th = V

7.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求 t = 200 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 20 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 10 kΩC = 33 µFt = 200 ms

v_C = V

8.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 150 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 15 VR₁ = 2.2 kΩR₂ = 3.3 kΩC = 33 µFt = 150 ms

v_C = V

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求电路的功率因数 cos φ。

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 100 mHC = 100 µF

cos φ =

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、60 Hz 的电源上。求电路的谐振频率 f₀。

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

11.交流功率和功率因数中等

一台单相电动机从 400 V 电源吸取 29 kW，功率因数为 0.6（滞后）。求线路电流 I。

P = 29 kWpf = 0.6V = 400 V

I = A

12.交流功率和功率因数困难

一个单相负载从 240 V、50 Hz 电源吸取 30 kW，功率因数为 0.65（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。求电容需提供的无功功率 Q_C。

P = 30 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.9V = 240 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

13.三相电中等

一个每相阻抗为 7 + j24 Ω 的对称 Y 联结负载接在线电压为 480 V 的对称三相电源上。求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

V_L = 480 VZ = 7 + j24 Ω 每相

P = kW

14.三相电困难

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 300 kW，功率因数为 0.8（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。求电容器组须提供的总无功功率 Q_C，以 kvar 计。

P = 300 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.92V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

15.变压器中等

一台单相 75 kVA、7200/240 V 变压器在额定负载下运行，视为理想变压器。求高压绕组中的电流 I_HV。

S = 75 kVAV₁ = 7200 VV₂ = 240 V

I_HV = A

16.变压器困难

一台单相 100 kVA 变压器的铁损为 500 W，额定负载下铜损为 1500 W。在多大负载 S_η,max（以 kVA 计）时其效率最高？

S = 100 kVAP_core = 500 WP_cu,fl = 1500 W

S_η,max = kVA

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.4732 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 8 + 20 = 28 Ω

R₂ ∥ 28 = 15·28/(15+28) = 9.767 Ω

R_eq = R₁ + 9.767 = 15 + 9.767 = 24.77 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/24.77 = 0.7268 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 0.7268·15 = 7.099 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7.099/15 = 0.4732 A

答案

I_R2 = 0.4732 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.951 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 25 + 2 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 8.308 Ω

R₃ + 8.308 = 11.31 Ω

R₂ ∥ 11.31 = 6.447 Ω

R_eq = R₁ + 6.447 = 12 + 6.447 = 18.45 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 36/18.45 = 1.951 A

答案

I_R1 = 1.951 A

3.节点分析

答案: I_R1 = 0.7768 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 24 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/6 + (V_A − 24)/4 + (V_A − V_B)/5 = 0

0.6167·V_A − 0.2·V_B = 6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/15 + (V_B − V_A)/5 = 5

−0.2·V_A + 0.2667·V_B = 5

求解

Δ = (0.6167)(0.2667) − (−0.2)(−0.2) = 0.1244

V_A = Δ₁/Δ = 2.6/0.1244 = 20.89 V

V_B = Δ₂/Δ = 4.283/0.1244 = 34.42 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (24 − 20.89)/4 = 0.7768 A

4.节点分析

答案: V_A = 4.828 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

0.5417·V_A − 0.3333·V_B = 1.875

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·V_A。把它当作独立源处理，然后把含 V_A 的项移到左边。

(V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = 0.05·V_A

−0.3833·V_A + 0.8333·V_B = 0

求解

Δ = (0.5417)(0.8333) − (−0.3333)(−0.3833) = 0.3236

V_A = Δ₁/Δ = 1.562/0.3236 = 4.828 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.7188/0.3236 = 2.221 V

答案

V_A = 4.828 V

5.戴维南和诺顿

答案: R_th = 20.57 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·15/(20+15) = 8.571 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8.571 + 12 = 20.57 Ω

6.戴维南和诺顿

答案: V_th = 35 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·20/(10+20) = 6.667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6.667 + 6 = 12.67 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3.333 + 2.5·6.667 = 20 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 20 + 2.5·6 = 35 V

7.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 11.56 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 4.7·10/(4.7 + 10) = 3.197 kΩ

v_C(∞) = 20·10/(4.7 + 10) = 13.61 V

时间常数

τ = R_th·C = 3.197·33 = 105.5 ms

充电曲线

v_C(t) = 13.61·(1 − e^−200/105.5) = 11.56 V

答案

v_C = 11.56 V

8.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 2.27 V

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 15·3.3/(2.2 + 3.3) = 9 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 3.3·33 = 108.9 ms

放电

v_C(t) = 9·e^−150/108.9 = 2.27 V

答案

v_C = 2.27 V

9.交流阻抗和相量

答案: cos φ = 0.2085

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_L = 62.83 Ω, X_C = 15.92 Ω

阻抗

|Z| = √(10² + (46.92)²) = 47.97 Ω

功率因数

cos φ = R/|Z| = 10/47.97 = 0.2085

电路是感性的，所以功率因数滞后。

答案

cos φ = 0.2085

10.交流阻抗和相量

答案: f₀ = 41.09 Hz

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.15·100·10⁻⁶)) = 41.09 Hz

答案

f₀ = 41.09 Hz

11.交流功率和功率因数

答案: I = 120.8 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 29000/(400·0.6) = 120.8 A

答案

I = 120.8 A

12.交流功率和功率因数

答案: Q_C = 20.54 kvar

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q₁ = P·tan φ₁ = 30·tan(49.46°) = 35.07 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 30·tan(25.84°) = 14.53 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 20.54 kvar

答案

Q_C = 20.54 kvar

13.三相电

答案: P = 2.58 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

相电压

V_ph = 480/√3 = 277.1 V

相电流

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω

I_ph = 277.1/25 = 11.09 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·I_ph²·R = 3·11.09²·7 = 2.58 kW

答案

P = 2.58 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.28，用 √3·V_L·I_L·cos φ 得到相同的功率。

14.三相电

答案: Q_C = 97.2 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 300·tan(acos 0.8) = 300·0.75 = 225 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0.92) = 300·0.426 = 127.8 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 97.2 kvar

答案

Q_C = 97.2 kvar

15.变压器

答案: I_HV = 10.42 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

额定电流

两个绕组传输相同的视在功率。

I_HV = S/V = 75000/7200 = 10.42 A

答案

I_HV = 10.42 A

16.变压器

答案: S_η,max = 57.74 kVA

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·P_cu,fl。效率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)，其中 P_out = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

铜损等于铁损

x²·1500 = 500 → x = √(500/1500) = 0.5774

最高效率时的负载

S_η,max = x·S = 0.5774·100 = 57.74 kVA

答案

S_η,max = 57.74 kVA

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电工学：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

戴维南和诺顿

方法

RC 和 RL 暂态

方法

交流阻抗和相量

方法

交流功率和功率因数

三相电

变压器

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

电容看到的戴维南等效电路

时间常数

充电曲线

答案

电容的初始电压

开关断开后的时间常数

放电

答案

电抗

阻抗

功率因数

答案

谐振

答案

线路电流

答案

补偿前后的无功功率

答案

相电压

相电流

总有功功率

答案

补偿前后的无功功率

电容提供的无功功率

答案

额定电流

答案

铜损等于铁损

最高效率时的负载

答案

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th