电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAR4​15 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 18 VR1 = 6 ΩR2 = 15 ΩR3 = 10 ΩR4 = 15 Ω
Req = Ω
2.串并联电阻困难
R1​ = 30 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​36 VR2​6 ΩAR4​5 ΩBR6​30 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 36 VR1 = 30 ΩR2 = 6 ΩR3 = 30 ΩR4 = 5 ΩR5 = 20 ΩR6 = 30 Ω
Req = Ω
3.节点分析中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​8 ΩAR4​3 ΩBIs​1.5 A

用节点分析法求 节点电压 VB（相对于地）。

V1 = 18 VIs = 1.5 AR1 = 10 ΩR2 = 8 ΩR3 = 4 ΩR4 = 3 Ω
VB = V
4.节点分析困难
R1​ = 10 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩAR4​15 ΩBIs​?

调节电流源，使节点 A 的电压为 VA = 11.5 V。用节点分析法求电源电流 Is（方向如图所示）。

V1 = 6 VR1 = 10 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 ΩR4 = 15 ΩVA = 11.5 V
Is = A
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 15 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩARL​5 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 5 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 3 ΩR3 = 20 ΩRL = 5 Ω
IL = A
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 10 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​36 VR2​3 ΩAIs​4 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 36 VIs = 4 AR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 2 Ω
IN = A
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​5 Vt = 0R = 33 ΩL100 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

Vs = 5 VR = 33 ΩL = 100 mHt = 5 ms
W = mJ
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​10 Vt = 0R = 2.2 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 6 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 6 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 9.2 V？求 t。

Vs = 10 VR = 2.2 kΩC = 33 µFvC(0) = 6 V
t = ms
9.交流阻抗和相量中等
Vf0​ = 5000 HzRL = ?C = 0.1 µF

一个 C = 0.1 µF 的 RLC 串联电路必须在 5000 Hz 发生谐振。求所需的电感 L。

f0 = 5000 HzC = 0.1 µF
L = mH
10.交流阻抗和相量困难
24 Vf0​R = 50 ΩL = 200 mHC = 1 µF

一个 RLC 串联电路由 24 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 24 V (rms)R = 50 ΩL = 200 mHC = 1 µF
VL = V
11.交流功率和功率因数中等
240 VR + jXP = 432 W3 A

一个感性负载从 240 V（有效值）的单相电源吸取 3 A 和 432 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。 求 X。

V = 240 VI = 3 AP = 432 W
X = Ω
12.交流功率和功率因数困难
240 V50 Hz负载16 kW, 0.8C100 µFI

一个单相负载从 240 V、50 Hz 的电源吸取 16 kW，功率因数为 0.8（滞后）。一个 100 µF 的电容与负载并联。 求电源看到的新功率因数 cos φ。

P = 16 kWpf1 = 0.8V = 240 Vf = 50 HzC = 100 µF
cos φ =
13.三相电中等
ABCVL​ = 208 VIL​ = 25 Acos φ = 0.88滞后

一个对称三相负载从线电压为 208 V 的电源取用 25 A 的线电流，功率因数为 0.88（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 208 VIL = 25 Acos φ = 0.88
P = kW
14.三相电困难
P = 250 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 250 kW，功率因数为 0.78（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 250 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.95VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.变压器中等
11000 V400 VIHV​ILV​ = ?500 kVA

一台单相 500 kVA、11000/400 V 变压器在额定负载下运行，视为理想变压器。求低压绕组中的电流 ILV。

S = 500 kVAV1 = 11000 VV2 = 400 V
ILV = A
16.变压器困难
pf 0.9100 kVA, η = 96%

一台单相 100 kVA 变压器的铁损为 800 W。 在额定负载、功率因数为 0.9（滞后）时，其效率为 96%。求满载铜损 Pcu,fl，以 W 计。

S = 100 kVAPcore = 800 Wpf = 0.9η = 96%
Pcu,fl = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: Req = 15.38 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAR4​15 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 10 + 15 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 15·25/(15+25) = 9.375 Ω
Req = R1 + 9.375 = 6 + 9.375 = 15.38 Ω

答案

Req = 15.38 Ω
2.串并联电阻

答案: Req = 35.11 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 30 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​36 VR2​6 ΩAR4​5 ΩBR6​30 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 20 + 30 = 50 Ω
R4 ∥ 50 = 4.545 Ω
R3 + 4.545 = 34.55 Ω
R2 ∥ 34.55 = 5.112 Ω
Req = R1 + 5.112 = 30 + 5.112 = 35.11 Ω

答案

Req = 35.11 Ω
3.节点分析

答案: VB = 5.417 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

R1​ = 10 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​8 ΩAR4​3 ΩBIs​1.5 A

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V1 = 18 V）。未知量：VA, VB。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/8 + (VA − 18)/10 + (VA − VB)/4 = 0
0.475·VA − 0.25·VB = 1.8

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/3 + (VB − VA)/4 = 1.5
−0.25·VA + 0.5833·VB = 1.5

求解

Δ = (0.475)(0.5833) − (−0.25)(−0.25) = 0.2146
VA = Δ1/Δ = 1.425/0.2146 = 6.641 V
VB = Δ2/Δ = 1.162/0.2146 = 5.417 V

答案

VB = 5.417 V
4.节点分析

答案: Is = 3.019 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

VA 已知，所以这个方程给出 VB。

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(11.5 − 6)/10 + 11.5/8 = (VB − 11.5)/2
1.988 = (VB − 11.5)/2 → VB = 15.47 V

节点 B 的 KCL

经电阻从 B 流出的电流等于电源注入 B 的电流。

Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (15.47 − 11.5)/2 + 15.47/15 = 3.019 A

答案

Is = 3.019 A
5.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.05455 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 15 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​3 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 15·3/(15+3) = 2.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.5 + 20 = 22.5 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·3/(15+3) = 1.5 V
Rth​ = 22.5 Ω+−Vth​1.5 VRL​5 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 1.5/(22.5 + 5) = 0.05455 A
6.戴维南和诺顿

答案: IN = 5.929 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​3 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·3/(10+3) = 2.308 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.308 + 2 = 4.308 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​36 VR2​3 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 8.308 + 4·2.308 = 17.54 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 17.54 + 4·2 = 25.54 V
IN​5.929 ARth​4.308 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 25.54/4.308 = 5.929 A
7.RC 和 RL 暂态

答案: W = 0.7493 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3.03 ms
i(∞) = Vs/R = 5/33 = 0.1515 A

给定时刻的电流

i(t) = 0.1515·(1 − e−5/3.03) = 0.1224 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·100·0.1224² = 0.7493 mJ

答案

W = 0.7493 mJ
8.RC 和 RL 暂态

答案: t = 116.8 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 6 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 33 µF = 72.6 ms
vC(t) = 10 + (6 − 10)·e−t/τ

求解时间

9.2 = 10 + (−4)·e−t/τ → e−t/τ = (9.2 − 10)/(6 − 10) = 0.2
t = τ·ln((6 − 10)/(9.2 − 10)) = 72.6·ln(5) = 116.8 ms

答案

t = 116.8 ms
9.交流阻抗和相量

答案: L = 10.13 mH

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·0.1·10⁻⁶) = 10.13 mH

答案

L = 10.13 mH
10.交流阻抗和相量

答案: VL = 214.7 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.2·1·10⁻⁶) = 2236 rad/s
I = V/R = 24/50 = 0.48 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 2236·0.2 = 447.2 Ω
VL = I·XL = 0.48·447.2 = 214.7 V

答案

VL = 214.7 V

这是电源电压的 Q = 8.944 倍。

11.交流功率和功率因数

答案: X = 64 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 432/3² = 48 Ω

由阻抗求电抗

|Z| = V/I = 240/3 = 80 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(80² − 48²) = 64 Ω

答案

X = 64 Ω
12.交流功率和功率因数

答案: cos φ = 0.8435

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = 16·tan(arccos 0.8) = 12 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·50·100·10⁻⁶ = 1810 var = 1.81 kvar
Q2 = 12 − 1.81 = 10.19 kvar

新的视在功率

S2 = √(16² + 10.19²) = 18.97 kVA

新的功率因数

cos φ = P/S2 = 16/18.97 = 0.8435

答案

cos φ = 0.8435
13.三相电

答案: P = 7.926 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·208·25 = 9.007 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 9.007·0.88 = 7.926 kW

答案

P = 7.926 kW
14.三相电

答案: Cph = 219.9 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 250·tan(acos 0.78) = 250·0.8023 = 200.6 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0.95) = 250·0.3287 = 82.17 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 118.4 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 39466/(377·690²) = 219.9 µF

答案

Cph = 219.9 µF
15.变压器

答案: ILV = 1250 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

额定电流

两个绕组传输相同的视在功率。

ILV = S/V = 500000/400 = 1250 A

答案

ILV = 1250 A
16.变压器

答案: Pcu,fl = 2950 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

Pout = 100·0.9 = 90 kW
Pin = 90000/0.96 = 93750 W

总损耗和铜损

Ploss = 93750 − 90000 = 3750 W
Pcu,fl = 3750 − 800 = 2950 W

答案

Pcu,fl = 2950 W

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals