电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩAR4​20 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 6 VR1 = 2 ΩR2 = 20 ΩR3 = 15 ΩR4 = 20 Ω
Req = Ω
2.串并联电阻困难
R1​ = 25 ΩIR1​R3​ = 25 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAR4​10 ΩBR6​2 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 10 VR1 = 25 ΩR2 = 3 ΩR3 = 25 ΩR4 = 10 ΩR5 = 5 ΩR6 = 2 Ω
IR1 = A
3.节点分析中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAR4​10 ΩBIs​1.5 A

用节点分析法求电流源 Is 输出的功率 PIs。

V1 = 12 VIs = 1.5 AR1 = 4 ΩR2 = 5 ΩR3 = 5 ΩR4 = 10 Ω
PIs = W
4.节点分析困难
R1​ = 3 ΩIR1​R2​ = 4 ΩR4​ = 10 Ω+−V1​10 VR3​8 ΩAR5​20 ΩBIs​2 A+−V2​36 V

用节点分析法求 沿箭头方向流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 10 VIs = 2 AV2 = 36 VR1 = 3 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩR4 = 10 ΩR5 = 20 Ω
IR1 = A
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 10 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 10 Ω
Vth = V
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 2 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAIs​5 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 15 VIs = 5 AR1 = 2 ΩR2 = 20 ΩR3 = 25 Ω
Vth = V
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​15 Vt = 0R = 15 ΩL100 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 15 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

Vs = 15 VR = 15 ΩL = 100 mHt = 15 ms
W = mJ
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​24 VR1​ = 22 ΩR2​ = 33 Ω在 t = 0 闭合L220 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R2 短路。 求 t = 10 ms 时的电感电流 i。

Vs = 24 VR1 = 22 ΩR2 = 33 ΩL = 220 mHt = 10 ms
i = A
9.交流阻抗和相量中等
100 V200 HzR = 15 ΩC = 47 µFI

一个电阻和一个电容并联接在 100 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω
10.交流阻抗和相量困难
230 V500 HzR = 20 ΩL = 150 mHC = 1 µF+−VC​

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 20 ΩL = 150 mHC = 1 µF
VC = V
11.交流功率和功率因数中等
120 VR + jXP = 204 W2 A

一个感性负载从 120 V（有效值）的单相电源吸取 2 A 和 204 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。 求 X。

V = 120 VI = 2 AP = 204 W
X = Ω
12.交流功率和功率因数困难
P1​ = 66 kWQ1​S1​φ

一台 150 kVA 的单相变压器为一个 66 kW、功率因数为 0.85（滞后）的负载供电。在变压器达到其额定 kVA 之前，还能再增加多少电阻性（功率因数为 1）负载的有功功率 ΔP？

Smax = 150 kVAP1 = 66 kWpf1 = 0.85
ΔP = kW
13.三相电中等
ABCVL​ = 690 VIL​ = 15 Acos φ = 0.7滞后

一个对称三相负载从线电压为 690 V 的电源取用 15 A 的线电流，功率因数为 0.7（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 690 VIL = 15 Acos φ = 0.7
P = kW
14.三相电困难
P = 250 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 250 kW，功率因数为 0.7（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 250 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.98VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.变压器中等
8 ΩN1​N2​1152 Ω

一台输出电阻为 1152 Ω 的放大器通过理想变压器驱动一个 8 Ω 的扬声器。为实现最大功率传输，从放大器看扬声器须相当于 1152 Ω。求匝数比 a = N₁/N₂。

Rs = 1152 ΩRL = 8 Ω
a =
16.变压器困难
pf 0.9250 kVA, η = 97.5%

一台单相 250 kVA 变压器的铁损为 2000 W。 在额定负载、功率因数为 0.9（滞后）时，其效率为 97.5%。求满载铜损 Pcu,fl，以 W 计。

S = 250 kVAPcore = 2000 Wpf = 0.9η = 97.5%
Pcu,fl = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: Req = 14.73 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩAR4​20 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 15 + 20 = 35 Ω
R2 ∥ 35 = 20·35/(20+35) = 12.73 Ω
Req = R1 + 12.73 = 2 + 12.73 = 14.73 Ω

答案

Req = 14.73 Ω
2.串并联电阻

答案: IR1 = 0.3608 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 25 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAR4​10 ΩBR6​2 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 5 + 2 = 7 Ω
R4 ∥ 7 = 4.118 Ω
R3 + 4.118 = 29.12 Ω
R2 ∥ 29.12 = 2.72 Ω
Req = R1 + 2.72 = 25 + 2.72 = 27.72 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 10/27.72 = 0.3608 A

答案

IR1 = 0.3608 A
3.节点分析

答案: PIs = 15.24 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/5 + (VA − 12)/4 + (VA − VB)/5 = 0
0.65·VA − 0.2·VB = 3

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/10 + (VB − VA)/5 = 1.5
−0.2·VA + 0.3·VB = 1.5

求解

Δ = (0.65)(0.3) − (−0.2)(−0.2) = 0.155
VA = Δ1/Δ = 1.2/0.155 = 7.742 V
VB = Δ2/Δ = 1.575/0.155 = 10.16 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 VB。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

PIs = VB·Is = 10.16·1.5 = 15.24 W

答案

PIs = 15.24 W
4.节点分析

答案: IR1 = −0.7925 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

R1​ = 3 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 10 Ω+−V1​10 VR3​8 ΩAR5​20 ΩBIs​2 A+−V2​36 V

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V1 = 10 V, V2 = 36 V）。未知量：VA, VB。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/8 + (VA − 10)/3 + (VA − VB)/4 = 0
0.7083·VA − 0.25·VB = 3.333

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/20 + (VB − VA)/4 + (VB − 36)/10 = 2
−0.25·VA + 0.4·VB = 5.6

求解

Δ = (0.7083)(0.4) − (−0.25)(−0.25) = 0.2208
VA = Δ1/Δ = 2.733/0.2208 = 12.38 V
VB = Δ2/Δ = 4.8/0.2208 = 21.74 V

答案

IR1 = (V1 − VA)/R1 = (10 − 12.38)/3 = −0.7925 A
5.戴维南和诺顿

答案: Vth = 2 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​3 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·3/(12+3) = 2.4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.4 + 10 = 12.4 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·3/(12+3) = 2 V
6.戴维南和诺顿

答案: Vth = 147.7 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 25 Ω短路R2​20 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·20/(2+20) = 1.818 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.818 + 25 = 26.82 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 13.64 + 5·1.818 = 22.73 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 22.73 + 5·25 = 147.7 V
7.RC 和 RL 暂态

答案: W = 40.02 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 15 Ω = 6.667 ms
i(∞) = Vs/R = 15/15 = 1 A

给定时刻的电流

i(t) = 1·(1 − e−15/6.667) = 0.8946 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·100·0.8946² = 40.02 mJ

答案

W = 40.02 mJ
8.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.8501 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 24/(22 + 33) = 0.4364 A
i(∞) = 24/22 = 1.091 A
τ = L/R = 220/22 = 10 ms
i(t) = 1.091 + (0.4364 − 1.091)·e−t/τ

给定时刻的电流

i(10) = 1.091 + (−0.6545)·e−10/10 = 0.8501 A

答案

i = 0.8501 A
9.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 11.23 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(ωC) = 1/(2π·200·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 100/15 = 6.667 A
IX = V/XC = 100/16.93 = 5.906 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(6.667² + 5.906²) = 8.907 A

阻抗

|Z| = V/I = 100/8.907 = 11.23 Ω

答案

|Z| = 11.23 Ω
10.交流阻抗和相量

答案: VC = 474.7 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.15 = 471.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318.3 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (152.9)²) = 154.2 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 230/154.2 = 1.491 A

电容电压

VC = I·XC = 1.491·318.3 = 474.7 V

答案

VC = 474.7 V
11.交流功率和功率因数

答案: X = 31.61 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 204/2² = 51 Ω

由阻抗求电抗

|Z| = V/I = 120/2 = 60 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(60² − 51²) = 31.61 Ω

答案

X = 31.61 Ω
12.交流功率和功率因数

答案: ΔP = 78.32 kW

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

现有负载的无功功率

Q1 = 66·tan(arccos 0.85) = 40.9 kvar

最大总有功功率

满额定时 S = Smax，而电阻性负载不改变 Q。

P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 40.9²) = 144.3 kW

增加的有功功率

ΔP = 144.3 − 66 = 78.32 kW

答案

ΔP = 78.32 kW
13.三相电

答案: P = 12.55 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·690·15 = 17.93 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 17.93·0.7 = 12.55 kW

答案

P = 12.55 kW
14.三相电

答案: Cph = 1366 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 250·tan(acos 0.7) = 250·1.02 = 255.1 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0.98) = 250·0.2031 = 50.76 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 204.3 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 68095/(314.2·398.4²) = 1366 µF

答案

Cph = 1366 µF
15.变压器

答案: a = 12

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

匹配折算负载

a²·8 = 1152
a = √(1152/8) = √144 = 12

答案

a = 12
16.变压器

答案: Pcu,fl = 3769 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

Pout = 250·0.9 = 225 kW
Pin = 225000/0.975 = 230769 W

总损耗和铜损

Ploss = 230769 − 225000 = 5769 W
Pcu,fl = 5769 − 2000 = 3769 W

答案

Pcu,fl = 3769 W

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