电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​8 ΩAR4​8 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 8 ΩR3 = 15 ΩR4 = 8 Ω
Req = Ω
2.串并联电阻困难
R1​ = 30 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​30 ΩAR4​30 ΩBR6​10 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 30 VR1 = 30 ΩR2 = 30 ΩR3 = 25 ΩR4 = 30 ΩR5 = 20 ΩR6 = 10 Ω
Req = Ω
3.节点分析中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩAR4​4 ΩBIs​3 A

用节点分析法求 节点电压 VB（相对于地）。

V1 = 24 VIs = 3 AR1 = 4 ΩR2 = 2 ΩR3 = 15 ΩR4 = 4 Ω
VB = V
4.节点分析困难
R1​ = 3 ΩIR1​R2​ = 12 ΩR4​ = 2 Ω+−V1​10 VR3​12 ΩAR5​20 ΩBIs​6 A+−V2​10 V

用节点分析法求 沿箭头方向流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 10 VIs = 6 AV2 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 12 ΩR3 = 12 ΩR4 = 2 ΩR5 = 20 Ω
IR1 = A
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩARL​20 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 20 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 5 ΩR3 = 10 ΩRL = 20 Ω
IL = A
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 5 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAIs​1 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 15 VIs = 1 AR1 = 5 ΩR2 = 3 ΩR3 = 2 Ω
Vth = V
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​6 Vt = 0R = 33 ΩL22 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 50%？求 t。

Vs = 6 VR = 33 ΩL = 22 mH
t = ms
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 VR1​ = 15 ΩR2​ = 33 Ω在 t = 0 断开L220 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 求 t = 5 ms 时的电感电流 i。

Vs = 12 VR1 = 15 ΩR2 = 33 ΩL = 220 mHt = 5 ms
i = A
9.交流阻抗和相量中等
230 V50 HzR = 30 ΩL = 250 mHC = 47 µFI

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电路的功率因数 cos φ。

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 250 mHC = 47 µF
cos φ =
10.交流阻抗和相量困难
VfR = 5 ΩL = 2 mHC = 0.01 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 5 Ω，L = 2 mH，C = 0.01 µF。 求其带宽 B（两个半功率频率之间的频带宽度），以 Hz 表示。

R = 5 ΩL = 2 mHC = 0.01 µF
B = Hz
11.交流功率和功率因数中等
P = 29 kWQ = ?Sφ

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 29 kW，功率因数为 0.75（滞后）。 求它吸收的无功功率 Q。

P = 29 kWpf = 0.75V = 240 V
Q = kvar
12.交流功率和功率因数困难
P = 15 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 400 V、60 Hz 电源吸取 15 kW，功率因数为 0.75（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.98。 求新的线路电流 Inew。

P = 15 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.98V = 400 Vf = 60 Hz
Inew = A
13.三相电中等
ABCVL​ = 400 VIL​ = 150 Acos φ = 0.92滞后

一个对称三相负载从线电压为 400 V 的电源取用 150 A 的线电流，功率因数为 0.92（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 400 VIL = 150 Acos φ = 0.92
P = kW
14.三相电困难
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 200 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 200 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.98VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.变压器中等
11000 V400 VIHV​ = ?ILV​150 kVA

一台单相 150 kVA、11000/400 V 变压器在额定负载下运行，视为理想变压器。求高压绕组中的电流 IHV。

S = 150 kVAV1 = 11000 VV2 = 400 V
IHV = A
16.变压器困难
pf 0.85100 kVA, η = 99%

一台单相 100 kVA 变压器的铁损为 500 W。 在额定负载、功率因数为 0.85（滞后）时，其效率为 99%。求满载铜损 Pcu,fl，以 W 计。

S = 100 kVAPcore = 500 Wpf = 0.85η = 99%
Pcu,fl = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: Req = 15.94 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 10 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​8 ΩAR4​8 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 15 + 8 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 8·23/(8+23) = 5.935 Ω
Req = R1 + 5.935 = 10 + 5.935 = 15.94 Ω

答案

Req = 15.94 Ω
2.串并联电阻

答案: Req = 47.14 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 30 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​30 ΩAR4​30 ΩBR6​10 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 20 + 10 = 30 Ω
R4 ∥ 30 = 15 Ω
R3 + 15 = 40 Ω
R2 ∥ 40 = 17.14 Ω
Req = R1 + 17.14 = 30 + 17.14 = 47.14 Ω

答案

Req = 47.14 Ω
3.节点分析

答案: VB = 11.21 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩAR4​4 ΩBIs​3 A

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V1 = 24 V）。未知量：VA, VB。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/2 + (VA − 24)/4 + (VA − VB)/15 = 0
0.8167·VA − 0.06667·VB = 6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/4 + (VB − VA)/15 = 3
−0.06667·VA + 0.3167·VB = 3

求解

Δ = (0.8167)(0.3167) − (−0.06667)(−0.06667) = 0.2542
VA = Δ1/Δ = 2.1/0.2542 = 8.262 V
VB = Δ2/Δ = 2.85/0.2542 = 11.21 V

答案

VB = 11.21 V
4.节点分析

答案: IR1 = 0.07474 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

R1​ = 3 ΩR2​ = 12 ΩR4​ = 2 Ω+−V1​10 VR3​12 ΩAR5​20 ΩBIs​6 A+−V2​10 V

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V1 = 10 V, V2 = 10 V）。未知量：VA, VB。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/12 + (VA − 10)/3 + (VA − VB)/12 = 0
0.5·VA − 0.08333·VB = 3.333

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/20 + (VB − VA)/12 + (VB − 10)/2 = 6
−0.08333·VA + 0.6333·VB = 11

求解

Δ = (0.5)(0.6333) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.3097
VA = Δ1/Δ = 3.028/0.3097 = 9.776 V
VB = Δ2/Δ = 5.778/0.3097 = 18.65 V

答案

IR1 = (V1 − VA)/R1 = (10 − 9.776)/3 = 0.07474 A
5.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.1047 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​5 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·5/(8+5) = 3.077 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.077 + 10 = 13.08 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·5/(8+5) = 3.462 V
Rth​ = 13.08 Ω+−Vth​3.462 VRL​20 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 3.462/(13.08 + 20) = 0.1047 A
6.戴维南和诺顿

答案: Vth = 1.75 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​3 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·3/(5+3) = 1.875 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.875 + 2 = 3.875 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 5.625 + (−1)·1.875 = 3.75 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 3.75 + (−1)·2 = 1.75 V
7.RC 和 RL 暂态

答案: t = 0.4621 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 33 Ω = 0.6667 ms
i(∞) = Vs/R = 6/33 = 0.1818 A

求解时间

0.5 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.5)
t = −0.6667·ln(0.5) = 0.4621 ms

答案

t = 0.4621 ms
8.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.4348 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 12/15 = 0.8 A
i(∞) = 12/(15 + 33) = 0.25 A
τ = L/R = 220/48 = 4.583 ms
i(t) = 0.25 + (0.8 − 0.25)·e−t/τ

给定时刻的电流

i(5) = 0.25 + (0.55)·e−5/4.583 = 0.4348 A

答案

i = 0.4348 A
9.交流阻抗和相量

答案: cos φ = 0.9407

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = 78.54 Ω, XC = 67.73 Ω

阻抗

|Z| = √(30² + (10.81)²) = 31.89 Ω

功率因数

cos φ = R/|Z| = 30/31.89 = 0.9407
电路是感性的，所以功率因数滞后。

答案

cos φ = 0.9407
10.交流阻抗和相量

答案: B = 397.9 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.002·0.01·10⁻⁶)) = 35588 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0.002/(0.01·10⁻⁶)) = 89.44

带宽

B = f0/Q = 35588/89.44 = 397.9 Hz

答案

B = 397.9 Hz
11.交流功率和功率因数

答案: Q = 25.58 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.75) = 41.41°, tan φ = 0.8819

无功功率

Q = P·tan φ = 29·0.8819 = 25.58 kvar

答案

Q = 25.58 kvar
12.交流功率和功率因数

答案: Inew = 38.27 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 15·tan(41.41°) = 13.23 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 15·tan(11.48°) = 3.046 kvar
QC = Q1 − Q2 = 10.18 kvar

新的线路电流

Inew = P/(V·cos φ2) = 15000/(400·0.98) = 38.27 A

答案

Inew = 38.27 A
13.三相电

答案: P = 95.61 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·400·150 = 103.9 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 103.9·0.92 = 95.61 kW

答案

P = 95.61 kW
14.三相电

答案: Cph = 3571 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 200·tan(acos 0.65) = 200·1.169 = 233.8 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0.98) = 200·0.2031 = 40.61 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 193.2 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 64405/(314.2·239.6²) = 3571 µF

答案

Cph = 3571 µF
15.变压器

答案: IHV = 13.64 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

额定电流

两个绕组传输相同的视在功率。

IHV = S/V = 150000/11000 = 13.64 A

答案

IHV = 13.64 A
16.变压器

答案: Pcu,fl = 358.6 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

Pout = 100·0.85 = 85 kW
Pin = 85000/0.99 = 85859 W

总损耗和铜损

Ploss = 85859 − 85000 = 858.6 W
Pcu,fl = 858.6 − 500 = 358.6 W

答案

Pcu,fl = 358.6 W

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