电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩIR2​AR4​20 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 24 VR1 = 3 ΩR2 = 20 ΩR3 = 15 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
2.串并联电阻困难
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 3 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​12 ΩAR4​8 ΩBR6​5 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 24 VR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 ΩR4 = 8 ΩR5 = 20 ΩR6 = 5 Ω
IR1 = A
3.节点分析中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩAR4​8 ΩBIs​3 A

用节点分析法求电流源 Is 输出的功率 PIs。

V1 = 30 VIs = 3 AR1 = 4 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 ΩR4 = 8 Ω
PIs = W
4.节点分析困难
R1​ = 5 ΩIR1​R2​ = 5 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​24 VR3​25 ΩAR5​10 ΩBIs​6 A+−V2​30 V

用节点分析法求 沿箭头方向流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 24 VIs = 6 AV2 = 30 VR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩR3 = 25 ΩR4 = 20 ΩR5 = 10 Ω
IR1 = A
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 18 VR1 = 5 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 Ω
Rth = Ω
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 6 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAIs​6 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 9 VIs = 6 AR1 = 6 ΩR2 = 10 ΩR3 = 2 Ω
IN = A
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​10 Vt = 0R1​ = 4.7 kΩR2​ = 3.3 kΩC68 µF+−vC​

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 80 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 10 VR1 = 4.7 kΩR2 = 3.3 kΩC = 68 µFt = 80 ms
vC = V
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 Vt = 0R = 10 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 4 V，极性如图所示。 求 t = 400 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 9 VR = 10 kΩC = 33 µFvC(0) = 4 Vt = 400 ms
vC = V
9.交流阻抗和相量中等
12 V50 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 22 µFI

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求从电源吸取的有功功率 P。

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 22 µF
P = W
10.交流阻抗和相量困难
50 V500 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 22 µFI

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 22 µF
I = A
11.交流功率和功率因数中等
P = 2 kWQSφ

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 2 kW，功率因数为 0.75（滞后）。 求线路电流 I。

P = 2 kWpf = 0.75V = 240 V
I = A
12.交流功率和功率因数困难
P = 50 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 230 V、50 Hz 电源吸取 50 kW，功率因数为 0.6（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。 求新的线路电流 Inew。

P = 50 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.9V = 230 Vf = 50 Hz
Inew = A
13.三相电中等
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M45 kW, η = 90%cos φ = 0.86

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 45 kW。此负载下其效率为 90%，功率因数为 0.86（滞后）。电源线电压为 400 V。求线电流 IL。

Pout = 45 kWη = 90%cos φ = 0.86VL = 400 V
IL = A
14.三相电困难
P = 300 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 300 kW，功率因数为 0.8（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 300 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.98VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.变压器中等
6600 V230 VIHV​ILV​ = ?10 kVA

一台单相 10 kVA、6600/230 V 变压器在额定负载下运行，视为理想变压器。求低压绕组中的电流 ILV。

S = 10 kVAV1 = 6600 VV2 = 230 V
ILV = A
16.变压器困难
pf 0.8525 kVA, η = 98.2%

一台单相 25 kVA 变压器的铁损为 100 W。 在额定负载、功率因数为 0.85（滞后）时，其效率为 98.2%。求满载铜损 Pcu,fl，以 W 计。

S = 25 kVAPcore = 100 Wpf = 0.85η = 98.2%
Pcu,fl = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: IR2 = 0.9711 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAR4​20 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 15 + 20 = 35 Ω
R2 ∥ 35 = 20·35/(20+35) = 12.73 Ω
Req = R1 + 12.73 = 3 + 12.73 = 15.73 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/15.73 = 1.526 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 1.526·3 = 19.42 V
IR2 = VA/R2 = 19.42/20 = 0.9711 A

答案

IR2 = 0.9711 A
2.串并联电阻

答案: IR1 = 2.619 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 4 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​12 ΩAR4​8 ΩBR6​5 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 20 + 5 = 25 Ω
R4 ∥ 25 = 6.061 Ω
R3 + 6.061 = 9.061 Ω
R2 ∥ 9.061 = 5.163 Ω
Req = R1 + 5.163 = 4 + 5.163 = 9.163 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/9.163 = 2.619 A

答案

IR1 = 2.619 A
3.节点分析

答案: PIs = 73.03 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/20 + (VA − 30)/4 + (VA − VB)/12 = 0
0.3833·VA − 0.08333·VB = 7.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/8 + (VB − VA)/12 = 3
−0.08333·VA + 0.2083·VB = 3

求解

Δ = (0.3833)(0.2083) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.07292
VA = Δ1/Δ = 1.812/0.07292 = 24.86 V
VB = Δ2/Δ = 1.775/0.07292 = 24.34 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 VB。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

PIs = VB·Is = 24.34·3 = 73.03 W

答案

PIs = 73.03 W
4.节点分析

答案: IR1 = −0.7789 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

R1​ = 5 ΩR2​ = 5 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​24 VR3​25 ΩAR5​10 ΩBIs​6 A+−V2​30 V

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V1 = 24 V, V2 = 30 V）。未知量：VA, VB。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/25 + (VA − 24)/5 + (VA − VB)/5 = 0
0.44·VA − 0.2·VB = 4.8

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/10 + (VB − VA)/5 + (VB − 30)/20 = 6
−0.2·VA + 0.35·VB = 7.5

求解

Δ = (0.44)(0.35) − (−0.2)(−0.2) = 0.114
VA = Δ1/Δ = 3.18/0.114 = 27.89 V
VB = Δ2/Δ = 4.26/0.114 = 37.37 V

答案

IR1 = (V1 − VA)/R1 = (24 − 27.89)/5 = −0.7789 A
5.戴维南和诺顿

答案: Rth = 16.88 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 15 Ω短路R2​3 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·3/(5+3) = 1.875 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.875 + 15 = 16.88 Ω
6.戴维南和诺顿

答案: IN = −5.022 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 6 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​10 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 6·10/(6+10) = 3.75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.75 + 2 = 5.75 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 5.625 + (−6)·3.75 = −16.88 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −16.88 + (−6)·2 = −28.88 V
IN​5.022 ARth​5.75 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = −28.88/5.75 = −5.022 A
7.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 1.877 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。

Rth = R1 ∥ R2 = 4.7·3.3/(4.7 + 3.3) = 1.939 kΩ
vC(∞) = 10·3.3/(4.7 + 3.3) = 4.125 V

时间常数

τ = Rth·C = 1.939·68 = 131.8 ms

充电曲线

vC(t) = 4.125·(1 − e−80/131.8) = 1.877 V

答案

vC = 1.877 V
8.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 7.512 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 10 kΩ · 33 µF = 330 ms
vC(t) = 9 + (4 − 9)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(400) = 9 + (−5)·e−400/330 = 7.512 V

答案

vC = 7.512 V
9.交流阻抗和相量

答案: P = 0.1691 W

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = 15.71 Ω, XC = 144.7 Ω

阻抗

|Z| = √(20² + (−129)²) = 130.5 Ω

有功功率

电感和电容只储存和释放能量；全部有功功率都由电阻吸收。

I = 12/130.5 = 0.09194 A
P = I²·R = 0.09194²·20 = 0.1691 W

答案

P = 0.1691 W
10.交流阻抗和相量

答案: I = 0.1085 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.15 = 471.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14.47 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (456.8)²) = 460.7 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 50/460.7 = 0.1085 A

答案

I = 0.1085 A
11.交流功率和功率因数

答案: I = 11.11 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 2000/(240·0.75) = 11.11 A

答案

I = 11.11 A
12.交流功率和功率因数

答案: Inew = 241.5 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(53.13°) = 66.67 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(25.84°) = 24.22 kvar
QC = Q1 − Q2 = 42.45 kvar

新的线路电流

Inew = P/(V·cos φ2) = 50000/(230·0.9) = 241.5 A

答案

Inew = 241.5 A
13.三相电

答案: IL = 83.92 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 45/0.9 = 50 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 50000/(√3·400·0.86) = 83.92 A

答案

IL = 83.92 A
14.三相电

答案: Cph = 1011 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 300·tan(acos 0.8) = 300·0.75 = 225 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0.98) = 300·0.2031 = 60.92 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 164.1 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 54694/(314.2·415²) = 1011 µF

答案

Cph = 1011 µF
15.变压器

答案: ILV = 43.48 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

额定电流

两个绕组传输相同的视在功率。

ILV = S/V = 10000/230 = 43.48 A

答案

ILV = 43.48 A
16.变压器

答案: Pcu,fl = 289.5 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

Pout = 25·0.85 = 21.25 kW
Pin = 21250/0.982 = 21640 W

总损耗和铜损

Ploss = 21640 − 21250 = 389.5 W
Pcu,fl = 389.5 − 100 = 289.5 W

答案

Pcu,fl = 289.5 W

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