电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAR4​5 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 24 VR1 = 10 ΩR2 = 20 ΩR3 = 6 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
2.串并联电阻困难
R1​ = 2 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩIR2​AR4​2 ΩBR6​15 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 18 VR1 = 2 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 ΩR4 = 2 ΩR5 = 15 ΩR6 = 15 Ω
IR2 = A
3.节点分析中等
R1​12 Ω+−V1​6 VR2​6 Ω−+V2​9 VR3​2 ΩI3​A

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 3 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I3。

V1 = 6 VR1 = 12 ΩV2 = 9 VR2 = 6 ΩR3 = 2 Ω
I3 = A
4.节点分析困难
R1​ = 25 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 8 Ω+−V1​30 VR3​25 ΩAR5​2 ΩBIs​6 A−+V2​9 V

用节点分析法求 节点电压 VA（相对于地）。

V1 = 30 VIs = 6 AV2 = 9 VR1 = 25 ΩR2 = 20 ΩR3 = 25 ΩR4 = 8 ΩR5 = 2 Ω
VA = V
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 18 VR1 = 6 ΩR2 = 6 ΩR3 = 10 Ω
Vth = V
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 30 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAIs​1.5 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 12 VIs = 1.5 AR1 = 30 ΩR2 = 8 ΩR3 = 20 Ω
Vth = V
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​5 Vt = 0R = 50 ΩL220 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 10 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 5 VR = 50 ΩL = 220 mHt = 10 ms
vL = V
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 Vt = 0R = 1 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 15 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 15 V，极性如图所示。 求 t = 25 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 9 VR = 1 kΩC = 10 µFvC(0) = 15 Vt = 25 ms
vC = V
9.交流阻抗和相量中等
Vf0​ = 2000 HzRL = ?C = 10 µF

一个 C = 10 µF 的 RLC 串联电路必须在 2000 Hz 发生谐振。求所需的电感 L。

f0 = 2000 HzC = 10 µF
L = mH
10.交流阻抗和相量困难
5 Vf0​R = 10 ΩL = 50 mHC = 10 µF

一个 RLC 串联电路由 5 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 5 V (rms)R = 10 ΩL = 50 mHC = 10 µF
VL = V
11.交流功率和功率因数中等
120 VZ12 + j9 ΩI

一个阻抗为 Z = 12 + j9 Ω 的负载接在 120 V（有效值）的单相电源上。 求视在功率 S。

V = 120 VZ = 12 + j9 Ω
S = VA
12.交流功率和功率因数困难
P = 30 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 230 V、60 Hz 电源吸取 30 kW，功率因数为 0.6（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.98。 求电容需提供的无功功率 QC。

P = 30 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.98V = 230 Vf = 60 Hz
QC = kvar
13.三相电中等
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M37 kW, η = 94%cos φ = 0.8

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 37 kW。此负载下其效率为 94%，功率因数为 0.8（滞后）。电源线电压为 480 V。求线电流 IL。

Pout = 37 kWη = 94%cos φ = 0.8VL = 480 V
IL = A
14.三相电困难
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 100 kW，功率因数为 0.75（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 100 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.92VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.变压器中等
4 ΩN1​N2​256 Ω

一台输出电阻为 256 Ω 的放大器通过理想变压器驱动一个 4 Ω 的扬声器。为实现最大功率传输，从放大器看扬声器须相当于 256 Ω。求匝数比 a = N₁/N₂。

Rs = 256 ΩRL = 4 Ω
a =
16.变压器困难
pf 0.85250 kVA, 25% 负载

一台单相 250 kVA 变压器的铁损为 750 W，额定负载下铜损为 2250 W。 它以 0.85（滞后）的功率因数提供额定 kVA 的 25%。求此负载下的总损耗 Ploss，以 W 计。

S = 250 kVAPcore = 750 WPcu,fl = 2250 Wx = 0.25pf = 0.85
Ploss = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: Req = 17.1 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAR4​5 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 6 + 5 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 20·11/(20+11) = 7.097 Ω
Req = R1 + 7.097 = 10 + 7.097 = 17.1 Ω

答案

Req = 17.1 Ω
2.串并联电阻

答案: IR2 = 0.7234 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​2 ΩBR6​15 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 15 + 15 = 30 Ω
R4 ∥ 30 = 1.875 Ω
R3 + 1.875 = 13.88 Ω
R2 ∥ 13.88 = 8.192 Ω
Req = R1 + 8.192 = 2 + 8.192 = 10.19 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 18/10.19 = 1.766 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 1.766·2 = 14.47 V
IR2 = VA/R2 = 14.47/20 = 0.7234 A

答案

IR2 = 0.7234 A
3.节点分析

答案: I3 = 0.6667 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (VA − Vk)/Rk，其中 Vk 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(VA − 6)/12 + (VA − (−9))/6 + VA/2 = 0

求 VA

VA = (6/12 + (−9)/6 + 0/2) / (1/12 + 1/6 + 1/2) = −1/0.75 = −1.333 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I3 = (0 − VA)/R3 = (0 − (−1.333))/2 = 0.6667 A

答案

I3 = 0.6667 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: VA = 5.323 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

R1​ = 25 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 8 Ω+−V1​30 VR3​25 ΩAR5​2 ΩBIs​6 A−+V2​9 V

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V1 = 30 V, V2 = −9 V）。未知量：VA, VB。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/25 + (VA − 30)/25 + (VA − VB)/20 = 0
0.13·VA − 0.05·VB = 1.2

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/2 + (VB − VA)/20 + (VB − (−9))/8 = (−6)
−0.05·VA + 0.675·VB = −7.125

求解

Δ = (0.13)(0.675) − (−0.05)(−0.05) = 0.08525
VA = Δ1/Δ = 0.4538/0.08525 = 5.323 V
VB = Δ2/Δ = −0.8662/0.08525 = −10.16 V

答案

VA = 5.323 V
5.戴维南和诺顿

答案: Vth = 9 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​6 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 6·6/(6+6) = 3 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3 + 10 = 13 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·6/(6+6) = 9 V
6.戴维南和诺顿

答案: Vth = 42 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 30 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​8 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 30·8/(30+8) = 6.316 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6.316 + 20 = 26.32 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAIs​1.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2.526 + 1.5·6.316 = 12 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 12 + 1.5·20 = 42 V
7.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 0.5152 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 220 mH / 50 Ω = 4.4 ms
i(∞) = Vs/R = 5/50 = 0.1 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 5·e−10/4.4 = 0.5152 V

答案

vL = 0.5152 V
8.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 9.493 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 15 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 1 kΩ · 10 µF = 10 ms
vC(t) = 9 + (15 − 9)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(25) = 9 + (6)·e−25/10 = 9.493 V

答案

vC = 9.493 V
9.交流阻抗和相量

答案: L = 0.6333 mH

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·10·10⁻⁶) = 0.6333 mH

答案

L = 0.6333 mH
10.交流阻抗和相量

答案: VL = 35.36 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·10·10⁻⁶) = 1414 rad/s
I = V/R = 5/10 = 0.5 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 1414·0.05 = 70.71 Ω
VL = I·XL = 0.5·70.71 = 35.36 V

答案

VL = 35.36 V

这是电源电压的 Q = 7.071 倍。

11.交流功率和功率因数

答案: S = 960 VA

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω
I = V/|Z| = 120/15 = 8 A

视在功率

S = V·I = 120·8 = 960 VA

答案

S = 960 VA
12.交流功率和功率因数

答案: QC = 33.91 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 30·tan(53.13°) = 40 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 30·tan(11.48°) = 6.092 kvar
QC = Q1 − Q2 = 33.91 kvar

答案

QC = 33.91 kvar
13.三相电

答案: IL = 59.18 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 37/0.94 = 39.36 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 39362/(√3·480·0.8) = 59.18 A

答案

IL = 59.18 A
14.三相电

答案: Cph = 524.9 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 100·tan(acos 0.75) = 100·0.8819 = 88.19 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0.92) = 100·0.426 = 42.6 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 45.59 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 480/√3 = 277.1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 15197/(377·277.1²) = 524.9 µF

答案

Cph = 524.9 µF
15.变压器

答案: a = 8

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

匹配折算负载

a²·4 = 256
a = √(256/4) = √64 = 8

答案

a = 8
16.变压器

答案: Ploss = 890.6 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

此负载下的铜损

Pcu = x²·Pcu,fl = 0.0625·2250 = 140.6 W

总损耗

铁损在任何负载下都相同。

Ploss = 750 + 140.6 = 890.6 W

答案

Ploss = 890.6 W

此负载下的效率为 η = 98.35%。

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