电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 8 ΩIR1​R3​ = 15 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAR4​3 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 30 VR1 = 8 ΩR2 = 2 ΩR3 = 15 ΩR4 = 3 Ω
IR1 = A
2.串并联电阻困难
R1​ = 10 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩIR2​AR4​20 ΩBR6​8 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 12 VR1 = 10 ΩR2 = 8 ΩR3 = 30 ΩR4 = 20 ΩR5 = 8 ΩR6 = 8 Ω
IR2 = A
3.节点分析中等
R1​6 Ω+−V1​18 VR2​12 Ω+−V2​6 VR3​20 ΩI3​A

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 3 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I3。

V1 = 18 VR1 = 6 ΩV2 = 6 VR2 = 12 ΩR3 = 20 Ω
I3 = A
4.节点分析困难
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​5 VR2​25 ΩAR4​5 ΩBIs​?

调节电流源，使节点 A 的电压为 VA = 8 V。用节点分析法求电源电流 Is（方向如图所示）。

V1 = 5 VR1 = 15 ΩR2 = 25 ΩR3 = 8 ΩR4 = 5 ΩVA = 8 V
Is = A
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 Ω
Rth = Ω
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 2 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAIs​3 ABRL​12 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 12 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 30 VIs = 3 AR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 25 ΩRL = 12 Ω
IL = A
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​20 Vt = 0R1​ = 10 kΩR2​ = 6.8 kΩC100 µF+−vC​

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 750 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 20 VR1 = 10 kΩR2 = 6.8 kΩC = 100 µFt = 750 ms
vC = V
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​15 V在 t = 0 断开R1​ = 3.3 kΩR2​ = 10 kΩC68 µF+−vC​

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 250 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 15 VR1 = 3.3 kΩR2 = 10 kΩC = 68 µFt = 250 ms
vC = V
9.交流阻抗和相量中等
24 V60 HzR = 100 ΩL = 100 mHI

一个电阻和一个电感并联接在 24 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 100 mH
|Z| = Ω
10.交流阻抗和相量困难
10 Vf0​R = 2 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF

一个 RLC 串联电路由 10 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 10 V (rms)R = 2 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF
VL = V
11.交流功率和功率因数中等
230 VR + jXP = 2898 W18 A

一个感性负载从 230 V（有效值）的单相电源吸取 18 A 和 2898 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。 求 R。

V = 230 VI = 18 AP = 2898 W
R = Ω
12.交流功率和功率因数困难
400 V60 Hz负载11 kW, 0.65C68 µFI = ?

一个单相负载从 400 V、60 Hz 的电源吸取 11 kW，功率因数为 0.65（滞后）。一个 68 µF 的电容与负载并联。 求新的线路电流 I。

P = 11 kWpf1 = 0.65V = 400 Vf = 60 HzC = 68 µF
I = A
13.三相电中等
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M110 kW, η = 93%cos φ = 0.9

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 110 kW。此负载下其效率为 93%，功率因数为 0.9（滞后）。电源线电压为 480 V。求线电流 IL。

Pout = 110 kWη = 93%cos φ = 0.9VL = 480 V
IL = A
14.三相电困难
P = 300 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 300 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 300 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.95VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.变压器中等
RL​ = 60 Ω511200 VV2​I1​ = ?I2​

一台匝数比 N₁:N₂ = 5:1 的理想变压器，一次绕组加 1200 V 电压。二次绕组两端接一个 60 Ω 的电阻。求一次电流 I1。

N1:N2 = 5:1V1 = 1200 VRL = 60 Ω
I1 = A
16.变压器困难
pf 0.8100 kVA, η = 98.2%

一台单相 100 kVA 变压器的铁损为 300 W。 在额定负载、功率因数为 0.8（滞后）时，其效率为 98.2%。求满载铜损 Pcu,fl，以 W 计。

S = 100 kVAPcore = 300 Wpf = 0.8η = 98.2%
Pcu,fl = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: IR1 = 3.061 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAR4​3 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 15 + 3 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 2·18/(2+18) = 1.8 Ω
Req = R1 + 1.8 = 8 + 1.8 = 9.8 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 30/9.8 = 3.061 A

答案

IR1 = 3.061 A
2.串并联电阻

答案: IR2 = 0.5983 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 10 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAR4​20 ΩBR6​8 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 8 + 8 = 16 Ω
R4 ∥ 16 = 8.889 Ω
R3 + 8.889 = 38.89 Ω
R2 ∥ 38.89 = 6.635 Ω
Req = R1 + 6.635 = 10 + 6.635 = 16.64 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 12/16.64 = 0.7214 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0.7214·10 = 4.786 V
IR2 = VA/R2 = 4.786/8 = 0.5983 A

答案

IR2 = 0.5983 A
3.节点分析

答案: I3 = −0.5833 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (VA − Vk)/Rk，其中 Vk 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(VA − 18)/6 + (VA − 6)/12 + VA/20 = 0

求 VA

VA = (18/6 + 6/12 + 0/20) / (1/6 + 1/12 + 1/20) = 3.5/0.3 = 11.67 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I3 = (0 − VA)/R3 = (0 − 11.67)/20 = −0.5833 A

答案

I3 = −0.5833 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: Is = 2.952 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

VA 已知，所以这个方程给出 VB。

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(8 − 5)/15 + 8/25 = (VB − 8)/8
0.52 = (VB − 8)/8 → VB = 12.16 V

节点 B 的 KCL

经电阻从 B 流出的电流等于电源注入 B 的电流。

Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (12.16 − 8)/8 + 12.16/5 = 2.952 A

答案

Is = 2.952 A
5.戴维南和诺顿

答案: Rth = 16.2 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω短路R2​3 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·3/(2+3) = 1.2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.2 + 15 = 16.2 Ω
6.戴维南和诺顿

答案: IL = 2.447 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 25 Ω短路R2​2 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·2/(2+2) = 1 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1 + 25 = 26 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 15 + 3·1 = 18 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 18 + 3·25 = 93 V
Rth​ = 26 Ω+−Vth​93 VRL​12 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 93/(26 + 12) = 2.447 A
7.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 6.826 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。

Rth = R1 ∥ R2 = 10·6.8/(10 + 6.8) = 4.048 kΩ
vC(∞) = 20·6.8/(10 + 6.8) = 8.095 V

时间常数

τ = Rth·C = 4.048·100 = 404.8 ms

充电曲线

vC(t) = 8.095·(1 − e−750/404.8) = 6.826 V

答案

vC = 6.826 V
8.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 7.809 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

vC(0) = 15·10/(3.3 + 10) = 11.28 V

开关断开后的时间常数

τ = R2·C = 10·68 = 680 ms

放电

vC(t) = 11.28·e−250/680 = 7.809 V

答案

vC = 7.809 V
9.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 35.28 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = ωL = 2π·60·0.1 = 37.7 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 24/100 = 0.24 A
IX = V/XL = 24/37.7 = 0.6366 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(0.24² + 0.6366²) = 0.6804 A

阻抗

|Z| = V/I = 24/0.6804 = 35.28 Ω

答案

|Z| = 35.28 Ω
10.交流阻抗和相量

答案: VL = 515.7 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·4.7·10⁻⁶) = 2063 rad/s
I = V/R = 10/2 = 5 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 2063·0.05 = 103.1 Ω
VL = I·XL = 5·103.1 = 515.7 V

答案

VL = 515.7 V

这是电源电压的 Q = 51.57 倍。

11.交流功率和功率因数

答案: R = 8.944 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 2898/18² = 8.944 Ω

答案

R = 8.944 Ω
12.交流功率和功率因数

答案: I = 35.15 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = 11·tan(arccos 0.65) = 12.86 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·60·68·10⁻⁶ = 4102 var = 4.102 kvar
Q2 = 12.86 − 4.102 = 8.759 kvar

新的视在功率

S2 = √(11² + 8.759²) = 14.06 kVA

新的线路电流

I = S2/V = 14061/400 = 35.15 A

答案

I = 35.15 A
13.三相电

答案: IL = 158.1 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 110/0.93 = 118.3 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 118280/(√3·480·0.9) = 158.1 A

答案

IL = 158.1 A
14.三相电

答案: Cph = 4180 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 300·tan(acos 0.65) = 300·1.169 = 350.7 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0.95) = 300·0.3287 = 98.61 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 252.1 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 84045/(377·230.9²) = 4180 µF

答案

Cph = 4180 µF
15.变压器

答案: I1 = 0.8 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

二次电压和电流

V2 = 1200/5 = 240 V
I2 = 240/60 = 4 A

一次电流

理想变压器没有损耗：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I1 = I2/5 = 0.8 A

答案

I1 = 0.8 A

验算：从一次侧看负载为 a²·RL = 1500 Ω，1200/1500 得到相同的电流。

16.变压器

答案: Pcu,fl = 1166 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

Pout = 100·0.8 = 80 kW
Pin = 80000/0.982 = 81466 W

总损耗和铜损

Ploss = 81466 − 80000 = 1466 W
Pcu,fl = 1466 − 300 = 1166 W

答案

Pcu,fl = 1166 W

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