电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 20 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩIR2​AR4​12 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 24 VR1 = 20 ΩR2 = 15 ΩR3 = 10 ΩR4 = 12 Ω
IR2 = A
2.串并联电阻困难
R1​ = 30 ΩIR1​R3​ = 5 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩAR4​4 ΩBR6​8 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 6 VR1 = 30 ΩR2 = 15 ΩR3 = 5 ΩR4 = 4 ΩR5 = 20 ΩR6 = 8 Ω
IR1 = A
3.节点分析中等
R1​ = 20 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAR4​5 ΩBIs​2 A

用节点分析法求电流源 Is 输出的功率 PIs。

V1 = 15 VIs = 2 AR1 = 20 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 ΩR4 = 5 Ω
PIs = W
4.节点分析困难
R1​ = 3 ΩR2​ = 5 ΩR4​ = 5 ΩIR4​+−V1​36 VR3​25 ΩAR5​30 ΩBIs​1.5 A+−V2​18 V

用节点分析法求 沿箭头方向流过 R4 的电流 IR4。

V1 = 36 VIs = 1.5 AV2 = 18 VR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 25 ΩR4 = 5 ΩR5 = 30 Ω
IR4 = A
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​12 VR2​10 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 5 Ω
Rth = Ω
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​36 VR2​2 ΩAIs​4 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 36 VIs = 4 AR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 Ω
Vth = V
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​12 Vt = 0R = 20 ΩL47 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时的电流 i。

Vs = 12 VR = 20 ΩL = 47 mHt = 5 ms
i = A
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 Vt = 0R = ?C22 µF+−vC​

一个定时器在 t = 0 时开始用 9 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 7.2 V 时它必须触发，恰好在开始后 25 ms。 已知 C = 22 µF，求所需的电阻 R。

Vs = 9 VVth = 7.2 VT = 25 msC = 22 µF
R = kΩ
9.交流阻抗和相量中等
120 V60 HzR = 30 ΩL = 250 mHC = 22 µFI

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电路的功率因数 cos φ。

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 250 mHC = 22 µF
cos φ =
10.交流阻抗和相量困难
230 V60 HzR = 15 ΩL = 200 mHC = 100 µF+−VC​

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 200 mHC = 100 µF
VC = V
11.交流功率和功率因数中等
P = 25 kWQSφ

一台单相电动机从 230 V 电源吸取 25 kW，功率因数为 0.75（滞后）。 求线路电流 I。

P = 25 kWpf = 0.75V = 230 V
I = A
12.交流功率和功率因数困难
120 V50 HzRs​ = 25 ΩXs​ = j30 ΩZL​ = ?

一个 120 V（有效值）、50 Hz 的电源具有内阻抗 Zs = 25 + j30 Ω。负载阻抗 ZL 可以自由选择。 获得最大功率的负载由一个电阻与一个电容串联构成。求电容 C。

Vs = 120 V (rms)f = 50 HzZs = 25 + j30 Ω
C = µF
13.三相电中等
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M110 kW, η = 92%cos φ = 0.82

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 110 kW。此负载下其效率为 92%，功率因数为 0.82（滞后）。电源线电压为 480 V。求线电流 IL。

Pout = 110 kWη = 92%cos φ = 0.82VL = 480 V
IL = A
14.三相电困难
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 50 kW，功率因数为 0.78（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 50 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.9VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.变压器中等
7200 V240 VIHV​ILV​ = ?25 kVA

一台单相 25 kVA、7200/240 V 变压器在额定负载下运行，视为理想变压器。求低压绕组中的电流 ILV。

S = 25 kVAV1 = 7200 VV2 = 240 V
ILV = A
16.变压器困难
75 kVA

一台单相 75 kVA 变压器的铁损为 375 W，额定负载下铜损为 937.5 W。 在多大负载 Sη,max（以 kVA 计）时其效率最高？

S = 75 kVAPcore = 375 WPcu,fl = 937.5 W
Sη,max = kVA

3溶液

1.串并联电阻

答案: IR2 = 0.4935 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 20 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAR4​12 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 10 + 12 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 15·22/(15+22) = 8.919 Ω
Req = R1 + 8.919 = 20 + 8.919 = 28.92 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/28.92 = 0.8299 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 0.8299·20 = 7.402 V
IR2 = VA/R2 = 7.402/15 = 0.4935 A

答案

IR2 = 0.4935 A
2.串并联电阻

答案: IR1 = 0.1694 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 30 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩAR4​4 ΩBR6​8 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 20 + 8 = 28 Ω
R4 ∥ 28 = 3.5 Ω
R3 + 3.5 = 8.5 Ω
R2 ∥ 8.5 = 5.426 Ω
Req = R1 + 5.426 = 30 + 5.426 = 35.43 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 6/35.43 = 0.1694 A

答案

IR1 = 0.1694 A
3.节点分析

答案: PIs = 17.18 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/12 + (VA − 15)/20 + (VA − VB)/3 = 0
0.4667·VA − 0.3333·VB = 0.75

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/5 + (VB − VA)/3 = 2
−0.3333·VA + 0.5333·VB = 2

求解

Δ = (0.4667)(0.5333) − (−0.3333)(−0.3333) = 0.1378
VA = Δ1/Δ = 1.067/0.1378 = 7.742 V
VB = Δ2/Δ = 1.183/0.1378 = 8.589 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 VB。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

PIs = VB·Is = 8.589·2 = 17.18 W

答案

PIs = 17.18 W
4.节点分析

答案: IR4 = 1.508 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

R1​ = 3 ΩR2​ = 5 ΩR4​ = 5 Ω+−V1​36 VR3​25 ΩAR5​30 ΩBIs​1.5 A+−V2​18 V

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V1 = 36 V, V2 = 18 V）。未知量：VA, VB。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/25 + (VA − 36)/3 + (VA − VB)/5 = 0
0.5733·VA − 0.2·VB = 12

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/30 + (VB − VA)/5 + (VB − 18)/5 = 1.5
−0.2·VA + 0.4333·VB = 5.1

求解

Δ = (0.5733)(0.4333) − (−0.2)(−0.2) = 0.2084
VA = Δ1/Δ = 6.22/0.2084 = 29.84 V
VB = Δ2/Δ = 5.324/0.2084 = 25.54 V

答案

IR4 = (VB − V2)/R4 = (25.54 − 18)/5 = 1.508 A
5.戴维南和诺顿

答案: Rth = 8.333 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 5 Ω短路R2​10 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·10/(5+10) = 3.333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.333 + 5 = 8.333 Ω
6.戴维南和诺顿

答案: Vth = −34 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​2 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·2/(2+2) = 1 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1 + 12 = 13 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​36 VR2​2 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 18 + (−4)·1 = 14 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 14 + (−4)·12 = −34 V
7.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.5285 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 47 mH / 20 Ω = 2.35 ms
i(∞) = Vs/R = 12/20 = 0.6 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.6·(1 − e−5/2.35) = 0.5285 A

答案

i = 0.5285 A
8.RC 和 RL 暂态

答案: R = 0.7061 kΩ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

所需的时间常数

7.2 = 9·(1 − e−25/τ) → τ = 25/ln(9/(9 − 7.2))
τ = 25/1.609 = 15.53 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 15.53/22 = 0.7061 kΩ

答案

R = 0.7061 kΩ
9.交流阻抗和相量

答案: cos φ = 0.7517

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = 94.25 Ω, XC = 120.6 Ω

阻抗

|Z| = √(30² + (−26.32)²) = 39.91 Ω

功率因数

cos φ = R/|Z| = 30/39.91 = 0.7517
电路是容性的，所以功率因数超前。

答案

cos φ = 0.7517
10.交流阻抗和相量

答案: VC = 119.3 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.2 = 75.4 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (48.87)²) = 51.12 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 230/51.12 = 4.499 A

电容电压

VC = I·XC = 4.499·26.53 = 119.3 V

答案

VC = 119.3 V
11.交流功率和功率因数

答案: I = 144.9 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 25000/(230·0.75) = 144.9 A

答案

I = 144.9 A
12.交流功率和功率因数

答案: C = 106.1 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

ZL = Zs* = 25 − j30 Ω

电容

XC = 30 Ω → C = 1/(2π·50·30) = 106.1 µF

答案

C = 106.1 µF
13.三相电

答案: IL = 175.4 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 110/0.92 = 119.6 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 119565/(√3·480·0.82) = 175.4 A

答案

IL = 175.4 A
14.三相电

答案: Cph = 106.3 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 50·tan(acos 0.78) = 50·0.8023 = 40.11 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0.9) = 50·0.4843 = 24.22 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 15.9 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 5299/(314.2·398.4²) = 106.3 µF

答案

Cph = 106.3 µF
15.变压器

答案: ILV = 104.2 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

额定电流

两个绕组传输相同的视在功率。

ILV = S/V = 25000/240 = 104.2 A

答案

ILV = 104.2 A
16.变压器

答案: Sη,max = 47.43 kVA

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

铜损等于铁损

x²·937.5 = 375 → x = √(375/937.5) = 0.6325

最高效率时的负载

Sη,max = x·S = 0.6325·75 = 47.43 kVA

答案

Sη,max = 47.43 kVA

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