电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 12 ΩIR1​R3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​4 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 18 VR1 = 12 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 ΩR4 = 4 Ω
IR1 = A
2.串并联电阻困难
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 10 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​24 VR2​25 ΩAR4​25 ΩBR6​5 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 24 VR1 = 2 ΩR2 = 25 ΩR3 = 10 ΩR4 = 25 ΩR5 = 5 ΩR6 = 5 Ω
IR1 = A
3.节点分析中等
R1​2 Ω+−V1​24 VR2​12 Ω+−V2​6 VI2​R3​4 Ω+−V3​10 VA

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 2 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I2。

V1 = 24 VR1 = 2 ΩV2 = 6 VR2 = 12 ΩV3 = 10 VR3 = 4 Ω
I2 = A
4.节点分析困难
R1​ = 2 ΩR2​ = 30 ΩR4​ = 20 ΩIR4​+−V1​24 VR3​4 ΩAR5​15 ΩBIs​6 A+−V2​9 V

用节点分析法求 沿箭头方向流过 R4 的电流 IR4。

V1 = 24 VIs = 6 AV2 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 30 ΩR3 = 4 ΩR4 = 20 ΩR5 = 15 Ω
IR4 = A
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 2 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 18 VR1 = 2 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 Ω
Vth = V
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAIs​1 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 18 VIs = 1 AR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩR3 = 6 Ω
Vth = V
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​9 Vt = 0R = 22 ΩL150 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 10 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

Vs = 9 VR = 22 ΩL = 150 mHt = 10 ms
W = mJ
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​5 Vt = 0R = 10 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 18 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 8.9 V？求 t。

Vs = 5 VR = 10 kΩC = 10 µFvC(0) = 18 V
t = ms
9.交流阻抗和相量中等
230 V50 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 22 µFI

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电路的功率因数 cos φ。

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 22 µF
cos φ =
10.交流阻抗和相量困难
5 Vf0​R = 15 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF

一个 RLC 串联电路由 5 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 5 V (rms)R = 15 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF
VL = V
11.交流功率和功率因数中等
P = 15 kWQ = ?Sφ

一台单相电动机从 400 V 电源吸取 15 kW，功率因数为 0.6（滞后）。 求它吸收的无功功率 Q。

P = 15 kWpf = 0.6V = 400 V
Q = kvar
12.交流功率和功率因数困难
P = 25 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 400 V、50 Hz 电源吸取 25 kW，功率因数为 0.7（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.98。 求新的线路电流 Inew。

P = 25 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.98V = 400 Vf = 50 Hz
Inew = A
13.三相电中等
ABCVL​ = 400 VNZ = 6 + j8 Ω每相

一个每相阻抗为 6 + j8 Ω 的对称 Y 联结负载接在线电压为 400 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 400 VZ = 6 + j8 Ω 每相
P = kW
14.三相电困难
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 200 kW，功率因数为 0.8（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 200 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.95VL = 415 Vf = 60 Hz
QC = kvar
15.变压器中等
480 V240 VIHV​ = ?ILV​75 kVA

一台单相 75 kVA、480/240 V 变压器在额定负载下运行，视为理想变压器。求高压绕组中的电流 IHV。

S = 75 kVAV1 = 480 VV2 = 240 V
IHV = A
16.变压器困难
150 kVA

一台单相 150 kVA 变压器的铁损为 600 W，额定负载下铜损为 1200 W。 在多大负载 Sη,max（以 kVA 计）时其效率最高？

S = 150 kVAPcore = 600 WPcu,fl = 1200 W
Sη,max = kVA

3溶液

1.串并联电阻

答案: IR1 = 1.083 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 12 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​4 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 2 + 4 = 6 Ω
R2 ∥ 6 = 20·6/(20+6) = 4.615 Ω
Req = R1 + 4.615 = 12 + 4.615 = 16.62 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 18/16.62 = 1.083 A

答案

IR1 = 1.083 A
2.串并联电阻

答案: IR1 = 1.972 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​24 VR2​25 ΩAR4​25 ΩBR6​5 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 5 + 5 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 7.143 Ω
R3 + 7.143 = 17.14 Ω
R2 ∥ 17.14 = 10.17 Ω
Req = R1 + 10.17 = 2 + 10.17 = 12.17 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/12.17 = 1.972 A

答案

IR1 = 1.972 A
3.节点分析

答案: I2 = −1 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (VA − Vk)/Rk，其中 Vk 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(VA − 24)/2 + (VA − 6)/12 + (VA − 10)/4 = 0

求 VA

VA = (24/2 + 6/12 + 10/4) / (1/2 + 1/12 + 1/4) = 15/0.8333 = 18 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I2 = (6 − VA)/R2 = (6 − 18)/12 = −1 A

答案

I2 = −1 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: IR4 = 1.892 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

R1​ = 2 ΩR2​ = 30 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​24 VR3​4 ΩAR5​15 ΩBIs​6 A+−V2​9 V

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V1 = 24 V, V2 = 9 V）。未知量：VA, VB。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/4 + (VA − 24)/2 + (VA − VB)/30 = 0
0.7833·VA − 0.03333·VB = 12

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/15 + (VB − VA)/30 + (VB − 9)/20 = 6
−0.03333·VA + 0.15·VB = 6.45

求解

Δ = (0.7833)(0.15) − (−0.03333)(−0.03333) = 0.1164
VA = Δ1/Δ = 2.015/0.1164 = 17.31 V
VB = Δ2/Δ = 5.453/0.1164 = 46.85 V

答案

IR4 = (VB − V2)/R4 = (46.85 − 9)/20 = 1.892 A
5.戴维南和诺顿

答案: Vth = 12.86 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​5 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·5/(2+5) = 1.429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.429 + 6 = 7.429 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·5/(2+5) = 12.86 V
6.戴维南和诺顿

答案: Vth = 22.8 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​15 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·15/(10+15) = 6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6 + 6 = 12 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 10.8 + 1·6 = 16.8 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 16.8 + 1·6 = 22.8 V
7.RC 和 RL 暂态

答案: W = 7.428 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6.818 ms
i(∞) = Vs/R = 9/22 = 0.4091 A

给定时刻的电流

i(t) = 0.4091·(1 − e−10/6.818) = 0.3147 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·150·0.3147² = 7.428 mJ

答案

W = 7.428 mJ
8.RC 和 RL 暂态

答案: t = 120.4 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms
vC(t) = 5 + (18 − 5)·e−t/τ

求解时间

8.9 = 5 + (13)·e−t/τ → e−t/τ = (8.9 − 5)/(18 − 5) = 0.3
t = τ·ln((18 − 5)/(8.9 − 5)) = 100·ln(3.333) = 120.4 ms

答案

t = 120.4 ms
9.交流阻抗和相量

答案: cos φ = 0.2265

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = 15.71 Ω, XC = 144.7 Ω

阻抗

|Z| = √(30² + (−129)²) = 132.4 Ω

功率因数

cos φ = R/|Z| = 30/132.4 = 0.2265
电路是容性的，所以功率因数超前。

答案

cos φ = 0.2265
10.交流阻抗和相量

答案: VL = 71.07 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·2.2·10⁻⁶) = 2132 rad/s
I = V/R = 5/15 = 0.3333 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 2132·0.1 = 213.2 Ω
VL = I·XL = 0.3333·213.2 = 71.07 V

答案

VL = 71.07 V

这是电源电压的 Q = 14.21 倍。

11.交流功率和功率因数

答案: Q = 20 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.6) = 53.13°, tan φ = 1.333

无功功率

Q = P·tan φ = 15·1.333 = 20 kvar

答案

Q = 20 kvar
12.交流功率和功率因数

答案: Inew = 63.78 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 25·tan(45.57°) = 25.51 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 25·tan(11.48°) = 5.076 kvar
QC = Q1 − Q2 = 20.43 kvar

新的线路电流

Inew = P/(V·cos φ2) = 25000/(400·0.98) = 63.78 A

答案

Inew = 63.78 A
13.三相电

答案: P = 9.6 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = 400/√3 = 230.9 V

相电流

|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω
Iph = 230.9/10 = 23.09 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·23.09²·6 = 9.6 kW

答案

P = 9.6 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.6，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

14.三相电

答案: QC = 84.26 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 200·tan(acos 0.8) = 200·0.75 = 150 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0.95) = 200·0.3287 = 65.74 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 84.26 kvar

答案

QC = 84.26 kvar
15.变压器

答案: IHV = 156.3 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

额定电流

两个绕组传输相同的视在功率。

IHV = S/V = 75000/480 = 156.3 A

答案

IHV = 156.3 A
16.变压器

答案: Sη,max = 106.1 kVA

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

铜损等于铁损

x²·1200 = 600 → x = √(600/1200) = 0.7071

最高效率时的负载

Sη,max = x·S = 0.7071·150 = 106.1 kVA

答案

Sη,max = 106.1 kVA

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