电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 5 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​2 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 18 VR1 = 3 ΩR2 = 20 ΩR3 = 5 ΩR4 = 2 Ω
IR1 = A
2.串并联电阻困难
R1​ = 8 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​24 VR2​8 ΩAR4​10 ΩBR6​8 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 24 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 ΩR4 = 10 ΩR5 = 15 ΩR6 = 8 Ω
Req = Ω
3.节点分析中等
R1​15 Ω−+V1​6 VR2​3 Ω+−V2​24 VR3​3 Ω+−V3​30 VI3​A

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 3 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I3。

V1 = 6 VR1 = 15 ΩV2 = 24 VR2 = 3 ΩV3 = 30 VR3 = 3 Ω
I3 = A
4.节点分析困难
R1​ = 20 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAR4​3 ΩB0.1·VA​

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.1·VA（单位 A，VA 单位为 V）。用节点分析法求 节点电压 VB（相对于地）。

V1 = 18 VR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 2 ΩR4 = 3 Ωg = 0.1 A/V
VB = V
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 12 VR1 = 10 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 Ω
IN = A
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 30 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAIs​0.5 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 12 VIs = 0.5 AR1 = 30 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​15 Vt = 0R = 15 ΩL22 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 15 VR = 15 ΩL = 22 mHt = 1 ms
vL = V
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 V在 t = 0 断开R1​ = 10 kΩR2​ = 1 kΩi2​C68 µF+−vC​

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 40 ms 时流过 R2 的电流 i2。

Vs = 12 VR1 = 10 kΩR2 = 1 kΩC = 68 µFt = 40 ms
i2 = mA
9.交流阻抗和相量中等
230 V500 HzR = 100 ΩL = 150 mHI

一个电阻和一个电感并联接在 230 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 150 mH
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
5 Vf0​R = 20 ΩL = 50 mHC = 10 µF

一个 RLC 串联电路由 5 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 5 V (rms)R = 20 ΩL = 50 mHC = 10 µF
VL = V
11.交流功率和功率因数中等
120 VZ15 + j20 ΩI

一个阻抗为 Z = 15 + j20 Ω 的负载接在 120 V（有效值）的单相电源上。 求它吸收的无功功率 Q。

V = 120 VZ = 15 + j20 Ω
Q = var
12.交流功率和功率因数困难
P = 10 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 230 V、60 Hz 电源吸取 10 kW，功率因数为 0.8（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。 求新的线路电流 Inew。

P = 10 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.9V = 230 Vf = 60 Hz
Inew = A
13.三相电中等
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M45 kW, η = 94%cos φ = 0.84

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 45 kW。此负载下其效率为 94%，功率因数为 0.84（滞后）。电源线电压为 400 V。求线电流 IL。

Pout = 45 kWη = 94%cos φ = 0.84VL = 400 V
IL = A
14.三相电困难
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 60 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 60 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.95VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.变压器中等
RL​ = 30 Ω21240 VV2​I1​ = ?I2​

一台匝数比 N₁:N₂ = 2:1 的理想变压器，一次绕组加 240 V 电压。二次绕组两端接一个 30 Ω 的电阻。求一次电流 I1。

N1:N2 = 2:1V1 = 240 VRL = 30 Ω
I1 = A
16.变压器困难
pf 0.95500 kVA, η = 99%

一台单相 500 kVA 变压器的铁损为 2000 W。 在额定负载、功率因数为 0.95（滞后）时，其效率为 99%。求满载铜损 Pcu,fl，以 W 计。

S = 500 kVAPcore = 2000 Wpf = 0.95η = 99%
Pcu,fl = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: IR1 = 2.199 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 3 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​2 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 5 + 2 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 20·7/(20+7) = 5.185 Ω
Req = R1 + 5.185 = 3 + 5.185 = 8.185 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 18/8.185 = 2.199 A

答案

IR1 = 2.199 A
2.串并联电阻

答案: Req = 12.23 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​24 VR2​8 ΩAR4​10 ΩBR6​8 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 15 + 8 = 23 Ω
R4 ∥ 23 = 6.97 Ω
R3 + 6.97 = 8.97 Ω
R2 ∥ 8.97 = 4.229 Ω
Req = R1 + 4.229 = 8 + 4.229 = 12.23 Ω

答案

Req = 12.23 Ω
3.节点分析

答案: I3 = 2 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (VA − Vk)/Rk，其中 Vk 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(VA − (−6))/15 + (VA − 24)/3 + (VA − 30)/3 = 0

求 VA

VA = ((−6)/15 + 24/3 + 30/3) / (1/15 + 1/3 + 1/3) = 17.6/0.7333 = 24 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I3 = (30 − VA)/R3 = (30 − 24)/3 = 2 A

答案

I3 = 2 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: VB = 1.473 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0.8·VA − 0.5·VB = 0.9

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·VA。把它当作独立源处理，然后把含 VA 的项移到左边。

(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0.1·VA
−0.6·VA + 0.8333·VB = 0

求解

Δ = (0.8)(0.8333) − (−0.5)(−0.6) = 0.3667
VA = Δ1/Δ = 0.75/0.3667 = 2.045 V
VB = Δ2/Δ = 0.54/0.3667 = 1.473 V

答案

VB = 1.473 V
5.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.4286 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​20 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·20/(10+20) = 6.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6.667 + 12 = 18.67 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·20/(10+20) = 8 V
IN​0.4286 ARth​18.67 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 8/18.67 = 0.4286 A
6.戴维南和诺顿

答案: IN = −0.3776 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 30 ΩR3​ = 8 Ω短路R2​4 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 30·4/(30+4) = 3.529 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.529 + 8 = 11.53 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAIs​0.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1.412 + (−0.5)·3.529 = −0.3529 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −0.3529 + (−0.5)·8 = −4.353 V
IN​0.3776 ARth​11.53 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = −4.353/11.53 = −0.3776 A
7.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 7.585 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 15 Ω = 1.467 ms
i(∞) = Vs/R = 15/15 = 1 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−1/1.467 = 7.585 V

答案

vL = 7.585 V
8.RC 和 RL 暂态

答案: i2 = 0.6058 mA

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

vC(0) = 12·1/(10 + 1) = 1.091 V

开关断开后的时间常数

τ = R2·C = 1·68 = 68 ms

放电

vC(t) = 1.091·e−40/68 = 0.6058 V
i2 = vC/R2 = 0.6058/1 = 0.6058 mA

答案

i2 = 0.6058 mA
9.交流阻抗和相量

答案: φ = 11.98 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = ωL = 2π·500·0.15 = 471.2 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 230/100 = 2.3 A
IX = V/XL = 230/471.2 = 0.4881 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(2.3² + 0.4881²) = 2.351 A

相角

电感电流滞后于 V，所以总电流滞后，角度为正。

φ = arctan(IX/IR) = arctan(0.4881/2.3) = 11.98°

答案

φ = 11.98°
10.交流阻抗和相量

答案: VL = 17.68 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·10·10⁻⁶) = 1414 rad/s
I = V/R = 5/20 = 0.25 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 1414·0.05 = 70.71 Ω
VL = I·XL = 0.25·70.71 = 17.68 V

答案

VL = 17.68 V

这是电源电压的 Q = 3.536 倍。

11.交流功率和功率因数

答案: Q = 460.8 var

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω
I = V/|Z| = 120/25 = 4.8 A

无功功率

Q = I²·X = 4.8²·20 = 460.8 var

答案

Q = 460.8 var
12.交流功率和功率因数

答案: Inew = 48.31 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 10·tan(36.87°) = 7.5 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 10·tan(25.84°) = 4.843 kvar
QC = Q1 − Q2 = 2.657 kvar

新的线路电流

Inew = P/(V·cos φ2) = 10000/(230·0.9) = 48.31 A

答案

Inew = 48.31 A
13.三相电

答案: IL = 82.26 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 45/0.94 = 47.87 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 47872/(√3·400·0.84) = 82.26 A

答案

IL = 82.26 A
14.三相电

答案: Cph = 1003 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 60·tan(acos 0.65) = 60·1.169 = 70.15 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0.95) = 60·0.3287 = 19.72 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 50.43 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 16809/(314.2·230.9²) = 1003 µF

答案

Cph = 1003 µF
15.变压器

答案: I1 = 2 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

二次电压和电流

V2 = 240/2 = 120 V
I2 = 120/30 = 4 A

一次电流

理想变压器没有损耗：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I1 = I2/2 = 2 A

答案

I1 = 2 A

验算：从一次侧看负载为 a²·RL = 120 Ω，240/120 得到相同的电流。

16.变压器

答案: Pcu,fl = 2798 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

Pout = 500·0.95 = 475 kW
Pin = 475000/0.99 = 479798 W

总损耗和铜损

Ploss = 479798 − 475000 = 4798 W
Pcu,fl = 4798 − 2000 = 2798 W

答案

Pcu,fl = 2798 W

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