电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAR4​2 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 18 VR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 12 ΩR4 = 2 Ω
Req = Ω
2.串并联电阻困难
R1​ = 30 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​6 ΩBR6​30 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 30 VR1 = 30 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩR4 = 6 ΩR5 = 8 ΩR6 = 30 Ω
Req = Ω
3.节点分析中等
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAR4​12 ΩBIs​1.5 A

用节点分析法求 沿箭头方向流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 9 VIs = 1.5 AR1 = 20 ΩR2 = 6 ΩR3 = 5 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.节点分析困难
R1​ = 30 ΩIR1​R2​ = 2 ΩR4​ = 25 Ω+−V1​18 VR3​25 ΩAR5​2 ΩBIs​1.5 A+−V2​9 V

用节点分析法求 沿箭头方向流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 18 VIs = 1.5 AV2 = 9 VR1 = 30 ΩR2 = 2 ΩR3 = 25 ΩR4 = 25 ΩR5 = 2 Ω
IR1 = A
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 12 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 12 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 3 Ω
Rth = Ω
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAIs​0.5 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 18 VIs = 0.5 AR1 = 3 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 Ω
Vth = V
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​24 Vt = 0R = 15 ΩL150 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 25 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

Vs = 24 VR = 15 ΩL = 150 mHt = 25 ms
W = mJ
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​10 VR1​ = 10 ΩR2​ = 15 Ω在 t = 0 闭合L68 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R2 短路。 t = 0 之后多长时间电感电流达到 0.76 A？求 t。

Vs = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩL = 68 mH
t = ms
9.交流阻抗和相量中等
100 V50 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 4.7 µFI

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
100 V100 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 47 µF

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电路的谐振频率 f0。

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 47 µF
f0 = Hz
11.交流功率和功率因数中等
P = 29 kWQ = ?Sφ

一台单相电动机从 230 V 电源吸取 29 kW，功率因数为 0.6（滞后）。 求它吸收的无功功率 Q。

P = 29 kWpf = 0.6V = 230 V
Q = kvar
12.交流功率和功率因数困难
P1​ = 45 kWQ1​S1​φ

一台 150 kVA 的单相变压器为一个 45 kW、功率因数为 0.7（滞后）的负载供电。在变压器达到其额定 kVA 之前，还能再增加多少电阻性（功率因数为 1）负载的有功功率 ΔP？

Smax = 150 kVAP1 = 45 kWpf1 = 0.7
ΔP = kW
13.三相电中等
ABCVL​ = 208 VIL​ = 60 Acos φ = 0.82滞后

一个对称三相负载从线电压为 208 V 的电源取用 60 A 的线电流，功率因数为 0.82（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 208 VIL = 60 Acos φ = 0.82
P = kW
14.三相电困难
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 200 kW，功率因数为 0.78（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 200 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.9VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar
15.变压器中等
8 Ω101

一个 8 Ω 的电阻接在匝数比 N₁:N₂ = 10:1 的理想变压器二次绕组两端。求从一次绕组看进去的电阻 R1′。

N1:N2 = 10:1RL = 8 Ω
R1′ = Ω
16.变压器困难
pf 0.9575 kVA, 25% 负载

一台单相 75 kVA 变压器的铁损为 225 W，额定负载下铜损为 337.5 W。 它以 0.95（滞后）的功率因数提供额定 kVA 的 25%。求此负载下的总损耗 Ploss，以 W 计。

S = 75 kVAPcore = 225 WPcu,fl = 337.5 Wx = 0.25pf = 0.95
Ploss = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: Req = 19.2 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAR4​2 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 12 + 2 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 6·14/(6+14) = 4.2 Ω
Req = R1 + 4.2 = 15 + 4.2 = 19.2 Ω

答案

Req = 19.2 Ω
2.串并联电阻

答案: Req = 34.04 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 30 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​6 ΩBR6​30 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 8 + 30 = 38 Ω
R4 ∥ 38 = 5.182 Ω
R3 + 5.182 = 8.182 Ω
R2 ∥ 8.182 = 4.045 Ω
Req = R1 + 4.045 = 30 + 4.045 = 34.04 Ω

答案

Req = 34.04 Ω
3.节点分析

答案: IR1 = 0.1762 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

R1​ = 20 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAR4​12 ΩBIs​1.5 A

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V1 = 9 V）。未知量：VA, VB。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/6 + (VA − 9)/20 + (VA − VB)/5 = 0
0.4167·VA − 0.2·VB = 0.45

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/12 + (VB − VA)/5 = 1.5
−0.2·VA + 0.2833·VB = 1.5

求解

Δ = (0.4167)(0.2833) − (−0.2)(−0.2) = 0.07806
VA = Δ1/Δ = 0.4275/0.07806 = 5.477 V
VB = Δ2/Δ = 0.715/0.07806 = 9.16 V

答案

IR1 = (V1 − VA)/R1 = (9 − 5.477)/20 = 0.1762 A
4.节点分析

答案: IR1 = 0.4504 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

R1​ = 30 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 25 Ω+−V1​18 VR3​25 ΩAR5​2 ΩBIs​1.5 A+−V2​9 V

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V1 = 18 V, V2 = 9 V）。未知量：VA, VB。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/25 + (VA − 18)/30 + (VA − VB)/2 = 0
0.5733·VA − 0.5·VB = 0.6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/2 + (VB − VA)/2 + (VB − 9)/25 = 1.5
−0.5·VA + 1.04·VB = 1.86

求解

Δ = (0.5733)(1.04) − (−0.5)(−0.5) = 0.3463
VA = Δ1/Δ = 1.554/0.3463 = 4.488 V
VB = Δ2/Δ = 1.366/0.3463 = 3.946 V

答案

IR1 = (V1 − VA)/R1 = (18 − 4.488)/30 = 0.4504 A
5.戴维南和诺顿

答案: Rth = 5.4 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​3 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·3/(12+3) = 2.4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.4 + 3 = 5.4 Ω
6.戴维南和诺顿

答案: Vth = 10 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​6 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 3·6/(3+6) = 2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2 + 2 = 4 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAIs​0.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 12 + (−0.5)·2 = 11 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 11 + (−0.5)·2 = 10 V
7.RC 和 RL 暂态

答案: W = 161.8 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 15 Ω = 10 ms
i(∞) = Vs/R = 24/15 = 1.6 A

给定时刻的电流

i(t) = 1.6·(1 − e−25/10) = 1.469 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·150·1.469² = 161.8 mJ

答案

W = 161.8 mJ
8.RC 和 RL 暂态

答案: t = 6.231 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 10/(10 + 15) = 0.4 A
i(∞) = 10/10 = 1 A
τ = L/R = 68/10 = 6.8 ms
i(t) = 1 + (0.4 − 1)·e−t/τ

求解时间

e−t/τ = (0.76 − 1)/(0.4 − 1) = 0.4
t = 6.8·ln(2.5) = 6.231 ms

答案

t = 6.231 ms
9.交流阻抗和相量

答案: I = 0.1574 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.15 = 47.12 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·4.7·10⁻⁶) = 677.3 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−630.1)²) = 635.2 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 100/635.2 = 0.1574 A

答案

I = 0.1574 A
10.交流阻抗和相量

答案: f0 = 73.41 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.1·47·10⁻⁶)) = 73.41 Hz

答案

f0 = 73.41 Hz
11.交流功率和功率因数

答案: Q = 38.67 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.6) = 53.13°, tan φ = 1.333

无功功率

Q = P·tan φ = 29·1.333 = 38.67 kvar

答案

Q = 38.67 kvar
12.交流功率和功率因数

答案: ΔP = 97.8 kW

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

现有负载的无功功率

Q1 = 45·tan(arccos 0.7) = 45.91 kvar

最大总有功功率

满额定时 S = Smax，而电阻性负载不改变 Q。

P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 45.91²) = 142.8 kW

增加的有功功率

ΔP = 142.8 − 45 = 97.8 kW

答案

ΔP = 97.8 kW
13.三相电

答案: P = 17.73 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·208·60 = 21.62 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 21.62·0.82 = 17.73 kW

答案

P = 17.73 kW
14.三相电

答案: QC = 63.59 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 200·tan(acos 0.78) = 200·0.8023 = 160.5 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0.9) = 200·0.4843 = 96.86 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 63.59 kvar

答案

QC = 63.59 kvar
15.变压器

答案: R1′ = 800 Ω

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

折算电阻

电压升高 a 倍，电流降低 a 倍，所以比值 V/I 增大 a² 倍。

R1′ = a²·RL = 10²·8 = 800 Ω

答案

R1′ = 800 Ω
16.变压器

答案: Ploss = 246.1 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

此负载下的铜损

Pcu = x²·Pcu,fl = 0.0625·337.5 = 21.09 W

总损耗

铁损在任何负载下都相同。

Ploss = 225 + 21.09 = 246.1 W

答案

Ploss = 246.1 W

此负载下的效率为 η = 98.64%。

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