电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 12 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAR4​8 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 18 VR1 = 12 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 ΩR4 = 8 Ω
Req = Ω
2.串并联电阻困难
R1​ = 15 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩIR2​AR4​25 ΩBR6​12 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 12 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 25 ΩR4 = 25 ΩR5 = 10 ΩR6 = 12 Ω
IR2 = A
3.节点分析中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​2 ΩBIs​1.5 A

用节点分析法求电流源 Is 输出的功率 PIs。

V1 = 24 VIs = 1.5 AR1 = 5 ΩR2 = 3 ΩR3 = 2 ΩR4 = 2 Ω
PIs = W
4.节点分析困难
R1​ = 12 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​25 ΩAR4​20 ΩBIs​?

调节电流源，使节点 A 的电压为 VA = 13 V。用节点分析法求电源电流 Is（方向如图所示）。

V1 = 10 VR1 = 12 ΩR2 = 25 ΩR3 = 12 ΩR4 = 20 ΩVA = 13 V
Is = A
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 10 VR1 = 4 ΩR2 = 10 ΩR3 = 5 Ω
Vth = V
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩAIs​0.5 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 24 VIs = 0.5 AR1 = 2 ΩR2 = 6 ΩR3 = 3 Ω
Vth = V
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​12 Vt = 0R1​ = 4.7 kΩR2​ = 2.2 kΩC220 µF+−vC​

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 500 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 12 VR1 = 4.7 kΩR2 = 2.2 kΩC = 220 µFt = 500 ms
vC = V
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​24 VR1​ = 33 ΩR2​ = 47 Ω在 t = 0 闭合L68 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R2 短路。 t = 0 之后多长时间电感电流达到 0.556 A？求 t。

Vs = 24 VR1 = 33 ΩR2 = 47 ΩL = 68 mH
t = ms
9.交流阻抗和相量中等
100 V500 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 22 µF

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 22 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
230 V60 HzR1​ = 10 ΩR2​ = 40 ΩC = 100 µFI

电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 230 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 230 V (rms)f = 60 HzR1 = 10 ΩR2 = 40 ΩC = 100 µF
I = A
11.交流功率和功率因数中等
P = 26 kWQSφ

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 26 kW，功率因数为 0.85（滞后）。 求线路电流 I。

P = 26 kWpf = 0.85V = 240 V
I = A
12.交流功率和功率因数困难
P = 45 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 240 V、50 Hz 电源吸取 45 kW，功率因数为 0.8（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。 求所需电容 C。

P = 45 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.9V = 240 Vf = 50 Hz
C = µF
13.三相电中等
ABCVL​ = 400 VIL​ = 12 Acos φ = 0.7滞后

一个对称三相负载从线电压为 400 V 的电源取用 12 A 的线电流，功率因数为 0.7（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 400 VIL = 12 Acos φ = 0.7
P = kW
14.三相电困难
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 120 kW，功率因数为 0.8（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 120 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.95VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.变压器中等
4800 V240 VIHV​ = ?ILV​500 kVA

一台单相 500 kVA、4800/240 V 变压器在额定负载下运行，视为理想变压器。求高压绕组中的电流 IHV。

S = 500 kVAV1 = 4800 VV2 = 240 V
IHV = A
16.变压器困难
pf 0.9550 kVA, η = 96%

一台单相 50 kVA 变压器的铁损为 150 W。 在额定负载、功率因数为 0.95（滞后）时，其效率为 96%。求满载铜损 Pcu,fl，以 W 计。

S = 50 kVAPcore = 150 Wpf = 0.95η = 96%
Pcu,fl = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: Req = 18 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 12 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAR4​8 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 4 + 8 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 12·12/(12+12) = 6 Ω
Req = R1 + 6 = 12 + 6 = 18 Ω

答案

Req = 18 Ω
2.串并联电阻

答案: IR2 = 0.2779 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 15 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​25 ΩBR6​12 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 10 + 12 = 22 Ω
R4 ∥ 22 = 11.7 Ω
R3 + 11.7 = 36.7 Ω
R2 ∥ 36.7 = 12.95 Ω
Req = R1 + 12.95 = 15 + 12.95 = 27.95 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 12/27.95 = 0.4294 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0.4294·15 = 5.559 V
IR2 = VA/R2 = 5.559/20 = 0.2779 A

答案

IR2 = 0.2779 A
3.节点分析

答案: PIs = 7.564 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/3 + (VA − 24)/5 + (VA − VB)/2 = 0
1.033·VA − 0.5·VB = 4.8

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/2 + (VB − VA)/2 = 1.5
−0.5·VA + VB = 1.5

求解

Δ = (1.033)(1) − (−0.5)(−0.5) = 0.7833
VA = Δ1/Δ = 5.55/0.7833 = 7.085 V
VB = Δ2/Δ = 3.95/0.7833 = 5.043 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 VB。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

PIs = VB·Is = 5.043·1.5 = 7.564 W

答案

PIs = 7.564 W
4.节点分析

答案: Is = 1.882 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

VA 已知，所以这个方程给出 VB。

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(13 − 10)/12 + 13/25 = (VB − 13)/12
0.77 = (VB − 13)/12 → VB = 22.24 V

节点 B 的 KCL

经电阻从 B 流出的电流等于电源注入 B 的电流。

Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (22.24 − 13)/12 + 22.24/20 = 1.882 A

答案

Is = 1.882 A
5.戴维南和诺顿

答案: Vth = 7.143 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 4 ΩR3​ = 5 Ω短路R2​10 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 4·10/(4+10) = 2.857 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.857 + 5 = 7.857 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·10/(4+10) = 7.143 V
6.戴维南和诺顿

答案: Vth = 20.25 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​6 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·6/(2+6) = 1.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.5 + 3 = 4.5 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩAIs​0.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 18 + 0.5·1.5 = 18.75 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 18.75 + 0.5·3 = 20.25 V
7.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 2.986 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。

Rth = R1 ∥ R2 = 4.7·2.2/(4.7 + 2.2) = 1.499 kΩ
vC(∞) = 12·2.2/(4.7 + 2.2) = 3.826 V

时间常数

τ = Rth·C = 1.499·220 = 329.7 ms

充电曲线

vC(t) = 3.826·(1 − e−500/329.7) = 2.986 V

答案

vC = 2.986 V
8.RC 和 RL 暂态

答案: t = 1.884 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 24/(33 + 47) = 0.3 A
i(∞) = 24/33 = 0.7273 A
τ = L/R = 68/33 = 2.061 ms
i(t) = 0.7273 + (0.3 − 0.7273)·e−t/τ

求解时间

e−t/τ = (0.556 − 0.7273)/(0.3 − 0.7273) = 0.4009
t = 2.061·ln(2.495) = 1.884 ms

答案

t = 1.884 ms
9.交流阻抗和相量

答案: φ = 75.05 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.1 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14.47 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (299.7)²) = 310.2 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(299.7/80) = 75.05°

答案

φ = 75.05°
10.交流阻抗和相量

答案: I = 7.969 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 12.22 − j18.42 Ω

总阻抗

Z = 10 + 12.22 − j18.42 = 22.22 − j18.42 Ω
|Z| = √(22.22² + 18.42²) = 28.86 Ω

电流

I = V/|Z| = 230/28.86 = 7.969 A

答案

I = 7.969 A
11.交流功率和功率因数

答案: I = 127.5 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 26000/(240·0.85) = 127.5 A

答案

I = 127.5 A
12.交流功率和功率因数

答案: C = 660.7 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(36.87°) = 33.75 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(25.84°) = 21.79 kvar
QC = Q1 − Q2 = 11.96 kvar

电容

并联在电源两端的电容提供 Q = V²·ωC。

C = QC/(2πf·V²) = 11956/(2π·50·240²) = 660.7 µF

答案

C = 660.7 µF
13.三相电

答案: P = 5.82 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·400·12 = 8.314 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 8.314·0.7 = 5.82 kW

答案

P = 5.82 kW
14.三相电

答案: Cph = 259.6 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 120·tan(acos 0.8) = 120·0.75 = 90 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0.95) = 120·0.3287 = 39.44 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 50.56 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 16853/(377·415²) = 259.6 µF

答案

Cph = 259.6 µF
15.变压器

答案: IHV = 104.2 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

额定电流

两个绕组传输相同的视在功率。

IHV = S/V = 500000/4800 = 104.2 A

答案

IHV = 104.2 A
16.变压器

答案: Pcu,fl = 1829 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

Pout = 50·0.95 = 47.5 kW
Pin = 47500/0.96 = 49479 W

总损耗和铜损

Ploss = 49479 − 47500 = 1979 W
Pcu,fl = 1979 − 150 = 1829 W

答案

Pcu,fl = 1829 W

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