电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 15 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩIR2​AR4​12 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 12 ΩR3 = 15 ΩR4 = 12 Ω
IR2 = A
2.串并联电阻困难
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 12 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAR4​4 ΩBR6​30 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 15 ΩR3 = 12 ΩR4 = 4 ΩR5 = 4 ΩR6 = 30 Ω
IR1 = A
3.节点分析中等
R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩAR4​15 ΩBIs​3 A

用节点分析法求电流源 Is 输出的功率 PIs。

V1 = 18 VIs = 3 AR1 = 6 ΩR2 = 5 ΩR3 = 12 ΩR4 = 15 Ω
PIs = W
4.节点分析困难
R1​ = 3 ΩR2​ = 15 ΩIR2​R4​ = 15 Ω+−V1​36 VR3​6 ΩAR5​3 ΩBIs​2 A+−V2​5 V

用节点分析法求 沿箭头方向流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 36 VIs = 2 AV2 = 5 VR1 = 3 ΩR2 = 15 ΩR3 = 6 ΩR4 = 15 ΩR5 = 3 Ω
IR2 = A
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 15 VR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 10 Ω
Vth = V
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 12 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAIs​1 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 6 VIs = 1 AR1 = 12 ΩR2 = 5 ΩR3 = 3 Ω
IN = A
7.RC 和 RL 暂态中等
R = 33 Ωt = 0L10 mHi(t)

电感中流过 1 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 1 ms 时的电流 i。

i(0) = 1 AR = 33 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​24 Vt = 0R = 1 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 20 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 20 V，极性如图所示。 求 t = 30 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 24 VR = 1 kΩC = 47 µFvC(0) = 20 Vt = 30 ms
vC = V
9.交流阻抗和相量中等
100 V500 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 47 µF

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 47 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
12 V100 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 47 µF

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电路的谐振频率 f0。

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 47 µF
f0 = Hz
11.交流功率和功率因数中等
230 VR + jXP = 518 W4.5 A

一个感性负载从 230 V（有效值）的单相电源吸取 4.5 A 和 518 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。 求 X。

V = 230 VI = 4.5 AP = 518 W
X = Ω
12.交流功率和功率因数困难
P = 10 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 400 V、50 Hz 电源吸取 10 kW，功率因数为 0.8（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.92。 求新的线路电流 Inew。

P = 10 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.92V = 400 Vf = 50 Hz
Inew = A
13.三相电中等
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M75 kW, η = 91%cos φ = 0.84

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 75 kW。此负载下其效率为 91%，功率因数为 0.84（滞后）。电源线电压为 480 V。求线电流 IL。

Pout = 75 kWη = 91%cos φ = 0.84VL = 480 V
IL = A
14.三相电困难
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 80 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 80 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.9VL = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
15.变压器中等
4800 V240 VIHV​ = ?ILV​15 kVA

一台单相 15 kVA、4800/240 V 变压器在额定负载下运行，视为理想变压器。求高压绕组中的电流 IHV。

S = 15 kVAV1 = 4800 VV2 = 240 V
IHV = A
16.变压器困难
150 kVA

一台单相 150 kVA 变压器的铁损为 450 W，额定负载下铜损为 1800 W。 在多大负载 Sη,max（以 kVA 计）时其效率最高？

S = 150 kVAPcore = 450 WPcu,fl = 1800 W
Sη,max = kVA

3溶液

1.串并联电阻

答案: IR2 = 0.2673 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 15 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAR4​12 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 15 + 12 = 27 Ω
R2 ∥ 27 = 12·27/(12+27) = 8.308 Ω
Req = R1 + 8.308 = 15 + 8.308 = 23.31 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 9/23.31 = 0.3861 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0.3861·15 = 3.208 V
IR2 = VA/R2 = 3.208/12 = 0.2673 A

答案

IR2 = 0.2673 A
2.串并联电阻

答案: IR1 = 0.9334 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAR4​4 ΩBR6​30 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 4 + 30 = 34 Ω
R4 ∥ 34 = 3.579 Ω
R3 + 3.579 = 15.58 Ω
R2 ∥ 15.58 = 7.642 Ω
Req = R1 + 7.642 = 2 + 7.642 = 9.642 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 9/9.642 = 0.9334 A

答案

IR1 = 0.9334 A
3.节点分析

答案: PIs = 79.27 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/5 + (VA − 18)/6 + (VA − VB)/12 = 0
0.45·VA − 0.08333·VB = 3

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/15 + (VB − VA)/12 = 3
−0.08333·VA + 0.15·VB = 3

求解

Δ = (0.45)(0.15) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.06056
VA = Δ1/Δ = 0.7/0.06056 = 11.56 V
VB = Δ2/Δ = 1.6/0.06056 = 26.42 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 VB。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

PIs = VB·Is = 26.42·3 = 79.27 W

答案

PIs = 79.27 W
4.节点分析

答案: IR2 = 0.9316 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

R1​ = 3 ΩR2​ = 15 ΩR4​ = 15 Ω+−V1​36 VR3​6 ΩAR5​3 ΩBIs​2 A+−V2​5 V

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V1 = 36 V, V2 = 5 V）。未知量：VA, VB。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/6 + (VA − 36)/3 + (VA − VB)/15 = 0
0.5667·VA − 0.06667·VB = 12

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/3 + (VB − VA)/15 + (VB − 5)/15 = 2
−0.06667·VA + 0.4667·VB = 2.333

求解

Δ = (0.5667)(0.4667) − (−0.06667)(−0.06667) = 0.26
VA = Δ1/Δ = 5.756/0.26 = 22.14 V
VB = Δ2/Δ = 2.122/0.26 = 8.162 V

答案

IR2 = (VA − VB)/R2 = (22.14 − 8.162)/15 = 0.9316 A
5.戴维南和诺顿

答案: Vth = 11.25 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 4 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​12 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 4·12/(4+12) = 3 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3 + 10 = 13 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·12/(4+12) = 11.25 V
6.戴维南和诺顿

答案: IN = −0.7297 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​5 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·5/(12+5) = 3.529 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.529 + 3 = 6.529 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1.765 + (−1)·3.529 = −1.765 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −1.765 + (−1)·3 = −4.765 V
IN​0.7297 ARth​6.529 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = −4.765/6.529 = −0.7297 A
7.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.03688 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 10 mH / 33 Ω = 0.303 ms

电流的衰减

i(t) = 1·e−1/0.303 = 0.03688 A

答案

i = 0.03688 A
8.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 21.89 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 20 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 1 kΩ · 47 µF = 47 ms
vC(t) = 24 + (20 − 24)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(30) = 24 + (−4)·e−30/47 = 21.89 V

答案

vC = 21.89 V
9.交流阻抗和相量

答案: φ = 78.71 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.05 = 157.1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·47·10⁻⁶) = 6.773 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (150.3)²) = 153.3 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(150.3/30) = 78.71°

答案

φ = 78.71°
10.交流阻抗和相量

答案: f0 = 164.2 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.02·47·10⁻⁶)) = 164.2 Hz

答案

f0 = 164.2 Hz
11.交流功率和功率因数

答案: X = 44.25 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 518/4.5² = 25.58 Ω

由阻抗求电抗

|Z| = V/I = 230/4.5 = 51.11 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(51.11² − 25.58²) = 44.25 Ω

答案

X = 44.25 Ω
12.交流功率和功率因数

答案: Inew = 27.17 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 10·tan(36.87°) = 7.5 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 10·tan(23.07°) = 4.26 kvar
QC = Q1 − Q2 = 3.24 kvar

新的线路电流

Inew = P/(V·cos φ2) = 10000/(400·0.92) = 27.17 A

答案

Inew = 27.17 A
13.三相电

答案: IL = 118 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 75/0.91 = 82.42 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 82418/(√3·480·0.84) = 118 A

答案

IL = 118 A
14.三相电

答案: QC = 54.78 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 80·tan(acos 0.65) = 80·1.169 = 93.53 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.9) = 80·0.4843 = 38.75 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 54.78 kvar

答案

QC = 54.78 kvar
15.变压器

答案: IHV = 3.125 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

额定电流

两个绕组传输相同的视在功率。

IHV = S/V = 15000/4800 = 3.125 A

答案

IHV = 3.125 A
16.变压器

答案: Sη,max = 75 kVA

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

铜损等于铁损

x²·1800 = 450 → x = √(450/1800) = 0.5

最高效率时的负载

Sη,max = x·S = 0.5·150 = 75 kVA

答案

Sη,max = 75 kVA

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