电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAR4​3 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 ΩR4 = 3 Ω
Req = Ω
2.串并联电阻困难
R1​ = 2 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAR4​30 ΩBR6​6 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 30 VR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 30 ΩR4 = 30 ΩR5 = 8 ΩR6 = 6 Ω
Req = Ω
3.节点分析中等
R1​ = 15 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩAR4​8 ΩBIs​4 A

用节点分析法求 节点电压 VA（相对于地）。

V1 = 12 VIs = 4 AR1 = 15 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 ΩR4 = 8 Ω
VA = V
4.节点分析困难
R1​ = 5 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAR4​4 ΩB0.4·VA​

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.4·VA（单位 A，VA 单位为 V）。用节点分析法求 节点电压 VB（相对于地）。

V1 = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 ΩR4 = 4 Ωg = 0.4 A/V
VB = V
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩARL​4 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 4 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 6 VR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 3 ΩRL = 4 Ω
IL = A
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 6 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​36 VR2​12 ΩAIs​0.5 ABRL​12 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 12 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 36 VIs = 0.5 AR1 = 6 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 ΩRL = 12 Ω
IL = A
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​9 Vt = 0R = 47 ΩL150 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 99%？求 t。

Vs = 9 VR = 47 ΩL = 150 mH
t = ms
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​20 Vt = 0R = 3.3 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 4 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 15.2 V？求 t。

Vs = 20 VR = 3.3 kΩC = 68 µFvC(0) = 4 V
t = ms
9.交流阻抗和相量中等
Vf0​ = 1000 HzRL = 1 mHC = ?

一个 L = 1 mH 的 RLC 串联电路必须在 1000 Hz 发生谐振。求所需的电容 C。

f0 = 1000 HzL = 1 mH
C = µF
10.交流阻抗和相量困难
VfR = 5 ΩL = 5 mHC = 0.047 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 5 Ω，L = 5 mH，C = 0.047 µF。 求其带宽 B（两个半功率频率之间的频带宽度），以 Hz 表示。

R = 5 ΩL = 5 mHC = 0.047 µF
B = Hz
11.交流功率和功率因数中等
P = 22 kWQ = ?Sφ

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 22 kW，功率因数为 0.6（滞后）。 求它吸收的无功功率 Q。

P = 22 kWpf = 0.6V = 240 V
Q = kvar
12.交流功率和功率因数困难
P = 20 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 400 V、50 Hz 电源吸取 20 kW，功率因数为 0.6（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.92。 求新的线路电流 Inew。

P = 20 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.92V = 400 Vf = 50 Hz
Inew = A
13.三相电中等
ABCVL​ = 690 VIL​ = ?M11 kW, η = 92%cos φ = 0.88

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 11 kW。此负载下其效率为 92%，功率因数为 0.88（滞后）。电源线电压为 690 V。求线电流 IL。

Pout = 11 kWη = 92%cos φ = 0.88VL = 690 V
IL = A
14.三相电困难
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 80 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 80 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.92VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.变压器中等
RL​ = 40 Ω2012400 VV2​I1​ = ?I2​

一台匝数比 N₁:N₂ = 20:1 的理想变压器，一次绕组加 2400 V 电压。二次绕组两端接一个 40 Ω 的电阻。求一次电流 I1。

N1:N2 = 20:1V1 = 2400 VRL = 40 Ω
I1 = A
16.变压器困难
pf 0.85150 kVA, η = 98.2%

一台单相 150 kVA 变压器的铁损为 1200 W。 在额定负载、功率因数为 0.85（滞后）时，其效率为 98.2%。求满载铜损 Pcu,fl，以 W 计。

S = 150 kVAPcore = 1200 Wpf = 0.85η = 98.2%
Pcu,fl = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: Req = 10.57 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAR4​3 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 15 + 3 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 3·18/(3+18) = 2.571 Ω
Req = R1 + 2.571 = 8 + 2.571 = 10.57 Ω

答案

Req = 10.57 Ω
2.串并联电阻

答案: Req = 3.904 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAR4​30 ΩBR6​6 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 8 + 6 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 9.545 Ω
R3 + 9.545 = 39.55 Ω
R2 ∥ 39.55 = 1.904 Ω
Req = R1 + 1.904 = 2 + 1.904 = 3.904 Ω

答案

Req = 3.904 Ω
3.节点分析

答案: VA = 4.941 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

R1​ = 15 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩAR4​8 ΩBIs​4 A

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V1 = 12 V）。未知量：VA, VB。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/3 + (VA − 12)/15 + (VA − VB)/15 = 0
0.4667·VA − 0.06667·VB = 0.8

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/8 + (VB − VA)/15 = 4
−0.06667·VA + 0.1917·VB = 4

求解

Δ = (0.4667)(0.1917) − (−0.06667)(−0.06667) = 0.085
VA = Δ1/Δ = 0.42/0.085 = 4.941 V
VB = Δ2/Δ = 1.92/0.085 = 22.59 V

答案

VA = 4.941 V
4.节点分析

答案: VB = 20.47 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0.3333·VA − 0.08333·VB = 3

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·VA。把它当作独立源处理，然后把含 VA 的项移到左边。

(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0.4·VA
−0.4833·VA + 0.3333·VB = 0

求解

Δ = (0.3333)(0.3333) − (−0.08333)(−0.4833) = 0.07083
VA = Δ1/Δ = 1/0.07083 = 14.12 V
VB = Δ2/Δ = 1.45/0.07083 = 20.47 V

答案

VB = 20.47 V
5.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.2466 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​6 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·6/(8+6) = 3.429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.429 + 3 = 6.429 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·6/(8+6) = 2.571 V
Rth​ = 6.429 Ω+−Vth​2.571 VRL​4 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 2.571/(6.429 + 4) = 0.2466 A
6.戴维南和诺顿

答案: IL = 1.4 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 6 ΩR3​ = 4 Ω短路R2​12 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 6·12/(6+12) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 4 = 8 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​36 VR2​12 ΩAIs​0.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 24 + 0.5·4 = 26 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 26 + 0.5·4 = 28 V
Rth​ = 8 Ω+−Vth​28 VRL​12 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 28/(8 + 12) = 1.4 A
7.RC 和 RL 暂态

答案: t = 14.7 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 47 Ω = 3.191 ms
i(∞) = Vs/R = 9/47 = 0.1915 A

求解时间

0.99 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.99)
t = −3.191·ln(0.01) = 14.7 ms

答案

t = 14.7 ms
8.RC 和 RL 暂态

答案: t = 270.2 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 68 µF = 224.4 ms
vC(t) = 20 + (4 − 20)·e−t/τ

求解时间

15.2 = 20 + (−16)·e−t/τ → e−t/τ = (15.2 − 20)/(4 − 20) = 0.3
t = τ·ln((4 − 20)/(15.2 − 20)) = 224.4·ln(3.333) = 270.2 ms

答案

t = 270.2 ms
9.交流阻抗和相量

答案: C = 25.33 µF

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0.001) = 25.33 µF

答案

C = 25.33 µF
10.交流阻抗和相量

答案: B = 159.2 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.005·0.047·10⁻⁶)) = 10382 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0.005/(0.047·10⁻⁶)) = 65.23

带宽

B = f0/Q = 10382/65.23 = 159.2 Hz

答案

B = 159.2 Hz
11.交流功率和功率因数

答案: Q = 29.33 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.6) = 53.13°, tan φ = 1.333

无功功率

Q = P·tan φ = 22·1.333 = 29.33 kvar

答案

Q = 29.33 kvar
12.交流功率和功率因数

答案: Inew = 54.35 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 20·tan(53.13°) = 26.67 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 20·tan(23.07°) = 8.52 kvar
QC = Q1 − Q2 = 18.15 kvar

新的线路电流

Inew = P/(V·cos φ2) = 20000/(400·0.92) = 54.35 A

答案

Inew = 54.35 A
13.三相电

答案: IL = 11.37 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 11/0.92 = 11.96 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 11957/(√3·690·0.88) = 11.37 A

答案

IL = 11.37 A
14.三相电

答案: Cph = 1183 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 80·tan(acos 0.65) = 80·1.169 = 93.53 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.92) = 80·0.426 = 34.08 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 59.45 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 19817/(314.2·230.9²) = 1183 µF

答案

Cph = 1183 µF
15.变压器

答案: I1 = 0.15 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

二次电压和电流

V2 = 2400/20 = 120 V
I2 = 120/40 = 3 A

一次电流

理想变压器没有损耗：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I1 = I2/20 = 0.15 A

答案

I1 = 0.15 A

验算：从一次侧看负载为 a²·RL = 16000 Ω，2400/16000 得到相同的电流。

16.变压器

答案: Pcu,fl = 1137 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

Pout = 150·0.85 = 127.5 kW
Pin = 127500/0.982 = 129837 W

总损耗和铜损

Ploss = 129837 − 127500 = 2337 W
Pcu,fl = 2337 − 1200 = 1137 W

答案

Pcu,fl = 1137 W

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