电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩIR2​AR4​3 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 18 VR1 = 5 ΩR2 = 20 ΩR3 = 6 ΩR4 = 3 Ω
IR2 = A
2.串并联电阻困难
R1​ = 3 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​30 ΩAR4​15 ΩBR6​5 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 15 VR1 = 3 ΩR2 = 30 ΩR3 = 15 ΩR4 = 15 ΩR5 = 6 ΩR6 = 5 Ω
Req = Ω
3.节点分析中等
−+Vs​ = 3 VIx​Is​3 AAR1​20 ΩR2​6 ΩB

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 VB − VA = Vₛ。 用含超节点的节点分析法求流过电压源的电流 Ix，方向如箭头所示从 A 到 B。

Is = 3 AVs = 3 VR1 = 20 ΩR2 = 6 Ω
Ix = A
4.节点分析困难
R1​ = 4 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAR4​20 ΩBIs​?

调节电流源，使节点 A 的电压为 VA = 12 V。用节点分析法求电源电流 Is（方向如图所示）。

V1 = 15 VR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 8 ΩR4 = 20 ΩVA = 12 V
Is = A
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 24 VR1 = 2 ΩR2 = 6 ΩR3 = 3 Ω
Rth = Ω
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAIs​1.5 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 10 VIs = 1.5 AR1 = 8 ΩR2 = 10 ΩR3 = 12 Ω
Vth = V
7.RC 和 RL 暂态中等
R = 22 Ωt = 0L150 mHi(t)

电感中流过 2.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 10 ms 时的电流 i。

i(0) = 2.5 AR = 22 ΩL = 150 mHt = 10 ms
i = A
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​30 V在 t = 0 断开R1​ = 10 kΩR2​ = 1 kΩC10 µF+−vC​

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 10 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 30 VR1 = 10 kΩR2 = 1 kΩC = 10 µFt = 10 ms
vC = V
9.交流阻抗和相量中等
230 V500 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 2.2 µFI

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
VfR = 2 ΩL = 5 mHC = 10 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 2 Ω，L = 5 mH，C = 10 µF。 求其谐振时的品质因数 Q。

R = 2 ΩL = 5 mHC = 10 µF
Q =
11.交流功率和功率因数中等
P = 12 kWQSφ

一台单相电动机从 230 V 电源吸取 12 kW，功率因数为 0.85（滞后）。 求线路电流 I。

P = 12 kWpf = 0.85V = 230 V
I = A
12.交流功率和功率因数困难
P = 25 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 400 V、60 Hz 电源吸取 25 kW，功率因数为 0.75（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.95。 求所需电容 C。

P = 25 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.95V = 400 Vf = 60 Hz
C = µF
13.三相电中等
ABCVL​ = 208 VIL​ = 10 Acos φ = 0.88滞后

一个对称三相负载从线电压为 208 V 的电源取用 10 A 的线电流，功率因数为 0.88（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 208 VIL = 10 Acos φ = 0.88
P = kW
14.三相电困难
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 50 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 50 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.92VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.变压器中等
2400 V240 VIHV​ILV​ = ?15 kVA

一台单相 15 kVA、2400/240 V 变压器在额定负载下运行，视为理想变压器。求低压绕组中的电流 ILV。

S = 15 kVAV1 = 2400 VV2 = 240 V
ILV = A
16.变压器困难
pf 0.95250 kVA, 75% 负载

一台单相 250 kVA 变压器的铁损为 2000 W，额定负载下铜损为 8000 W。 它以 0.95（滞后）的功率因数提供额定 kVA 的 75%。求此负载下的总损耗 Ploss，以 W 计。

S = 250 kVAPcore = 2000 WPcu,fl = 8000 Wx = 0.75pf = 0.95
Ploss = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: IR2 = 0.4985 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​3 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 6 + 3 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 20·9/(20+9) = 6.207 Ω
Req = R1 + 6.207 = 5 + 6.207 = 11.21 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 18/11.21 = 1.606 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 1.606·5 = 9.969 V
IR2 = VA/R2 = 9.969/20 = 0.4985 A

答案

IR2 = 0.4985 A
2.串并联电阻

答案: Req = 15.47 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 3 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​30 ΩAR4​15 ΩBR6​5 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 6 + 5 = 11 Ω
R4 ∥ 11 = 6.346 Ω
R3 + 6.346 = 21.35 Ω
R2 ∥ 21.35 = 12.47 Ω
Req = R1 + 12.47 = 3 + 12.47 = 15.47 Ω

答案

Req = 15.47 Ω
3.节点分析

答案: Ix = 2.423 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

VB = VA + Vs = VA + 3
VA/R1 + VB/R2 = Is

求解

VA/20 + (VA + 3)/6 = 3
VA = (3 − 3/6)/(1/20 + 1/6) = 11.54 V
VB = 11.54 + 3 = 14.54 V

流过电压源的电流

从 A 经电压源流到 B 的全部电流都经 R₂ 离开节点 B。

Ix = VB/R2 = 14.54/6 = 2.423 A

答案

Ix = 2.423 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: Is = 0.95 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

VA 已知，所以这个方程给出 VB。

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(12 − 15)/4 + 12/12 = (VB − 12)/8
0.25 = (VB − 12)/8 → VB = 14 V

节点 B 的 KCL

经电阻从 B 流出的电流等于电源注入 B 的电流。

Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (14 − 12)/8 + 14/20 = 0.95 A

答案

Is = 0.95 A
5.戴维南和诺顿

答案: Rth = 4.5 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​6 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·6/(2+6) = 1.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.5 + 3 = 4.5 Ω
6.戴维南和诺顿

答案: Vth = −19.11 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​10 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·10/(8+10) = 4.444 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.444 + 12 = 16.44 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAIs​1.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 5.556 + (−1.5)·4.444 = −1.111 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −1.111 + (−1.5)·12 = −19.11 V
7.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.5767 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6.818 ms

电流的衰减

i(t) = 2.5·e−10/6.818 = 0.5767 A

答案

i = 0.5767 A
8.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 1.003 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

vC(0) = 30·1/(10 + 1) = 2.727 V

开关断开后的时间常数

τ = R2·C = 1·10 = 10 ms

放电

vC(t) = 2.727·e−10/10 = 1.003 V

答案

vC = 1.003 V
9.交流阻抗和相量

答案: I = 1.336 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.1 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·2.2·10⁻⁶) = 144.7 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (169.5)²) = 172.1 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 230/172.1 = 1.336 A

答案

I = 1.336 A
10.交流阻抗和相量

答案: Q = 11.18

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.005·10·10⁻⁶)) = 711.8 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0.005/(10·10⁻⁶)) = 11.18

答案

Q = 11.18
11.交流功率和功率因数

答案: I = 61.38 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 12000/(230·0.85) = 61.38 A

答案

I = 61.38 A
12.交流功率和功率因数

答案: C = 229.3 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 25·tan(41.41°) = 22.05 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 25·tan(18.19°) = 8.217 kvar
QC = Q1 − Q2 = 13.83 kvar

电容

并联在电源两端的电容提供 Q = V²·ωC。

C = QC/(2πf·V²) = 13831/(2π·60·400²) = 229.3 µF

答案

C = 229.3 µF
13.三相电

答案: P = 3.17 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·208·10 = 3.603 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 3.603·0.88 = 3.17 kW

答案

P = 3.17 kW
14.三相电

答案: Cph = 686.7 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 50·tan(acos 0.65) = 50·1.169 = 58.46 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0.92) = 50·0.426 = 21.3 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 37.16 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 12386/(314.2·239.6²) = 686.7 µF

答案

Cph = 686.7 µF
15.变压器

答案: ILV = 62.5 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

额定电流

两个绕组传输相同的视在功率。

ILV = S/V = 15000/240 = 62.5 A

答案

ILV = 62.5 A
16.变压器

答案: Ploss = 6500 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

此负载下的铜损

Pcu = x²·Pcu,fl = 0.5625·8000 = 4500 W

总损耗

铁损在任何负载下都相同。

Ploss = 2000 + 4500 = 6500 W

答案

Ploss = 6500 W

此负载下的效率为 η = 96.48%。

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