电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 15 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩIR2​AR4​10 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 2 ΩR3 = 15 ΩR4 = 10 Ω
IR2 = A
2.串并联电阻困难
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩIR2​AR4​6 ΩBR6​12 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 30 VR1 = 3 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 ΩR4 = 6 ΩR5 = 6 ΩR6 = 12 Ω
IR2 = A
3.节点分析中等
R1​5 Ω+−V1​15 VI1​R2​5 Ω−+V2​24 VR3​20 Ω+−V3​24 VA

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 1 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I1。

V1 = 15 VR1 = 5 ΩV2 = 24 VR2 = 5 ΩV3 = 24 VR3 = 20 Ω
I1 = A
4.节点分析困难
R1​ = 6 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​10 ΩAR4​10 ΩB0.05·VA​

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.05·VA（单位 A，VA 单位为 V）。用节点分析法求 节点电压 VA（相对于地）。

V1 = 15 VR1 = 6 ΩR2 = 10 ΩR3 = 15 ΩR4 = 10 Ωg = 0.05 A/V
VA = V
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 30 VR1 = 8 ΩR2 = 4 ΩR3 = 20 Ω
Rth = Ω
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​25 ΩAIs​2.5 ABRL​4 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 4 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 6 VIs = 2.5 AR1 = 12 ΩR2 = 25 ΩR3 = 10 ΩRL = 4 Ω
IL = A
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​10 Vt = 0R = 33 ΩL68 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时的电流 i。

Vs = 10 VR = 33 ΩL = 68 mHt = 5 ms
i = A
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​20 Vt = 0R = 1 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 18 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 19.4 V？求 t。

Vs = 20 VR = 1 kΩC = 22 µFvC(0) = 18 V
t = ms
9.交流阻抗和相量中等
24 V500 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 100 µFI

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 100 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
24 Vf0​R = 20 ΩL = 50 mHC = 10 µF

一个 RLC 串联电路由 24 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 24 V (rms)R = 20 ΩL = 50 mHC = 10 µF
VL = V
11.交流功率和功率因数中等
P = 17 kWQSφ

一台单相电动机从 230 V 电源吸取 17 kW，功率因数为 0.65（滞后）。 求线路电流 I。

P = 17 kWpf = 0.65V = 230 V
I = A
12.交流功率和功率因数困难
P = 20 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 240 V、60 Hz 电源吸取 20 kW，功率因数为 0.65（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.95。 求新的线路电流 Inew。

P = 20 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.95V = 240 Vf = 60 Hz
Inew = A
13.三相电中等
ABCVL​ = 480 VIL​ = 20 Acos φ = 0.8滞后

一个对称三相负载从线电压为 480 V 的电源取用 20 A 的线电流，功率因数为 0.8（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 480 VIL = 20 Acos φ = 0.8
P = kW
14.三相电困难
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 200 kW，功率因数为 0.75（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 200 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.9VL = 415 Vf = 50 Hz
QC = kvar
15.变压器中等
RL​ = 12 Ω2014600 VV2​I1​ = ?I2​

一台匝数比 N₁:N₂ = 20:1 的理想变压器，一次绕组加 4600 V 电压。二次绕组两端接一个 12 Ω 的电阻。求一次电流 I1。

N1:N2 = 20:1V1 = 4600 VRL = 12 Ω
I1 = A
16.变压器困难
100 kVA

一台单相 100 kVA 变压器的铁损为 600 W，额定负载下铜损为 2400 W。 在多大负载 Sη,max（以 kVA 计）时其效率最高？

S = 100 kVAPcore = 600 WPcu,fl = 2400 W
Sη,max = kVA

3溶液

1.串并联电阻

答案: IR2 = 0.5495 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 15 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩAR4​10 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 15 + 10 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 2·25/(2+25) = 1.852 Ω
Req = R1 + 1.852 = 15 + 1.852 = 16.85 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 10/16.85 = 0.5934 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0.5934·15 = 1.099 V
IR2 = VA/R2 = 1.099/2 = 0.5495 A

答案

IR2 = 0.5495 A
2.串并联电阻

答案: IR2 = 2.042 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 3 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​6 ΩBR6​12 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 6 + 12 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 4.5 Ω
R3 + 4.5 = 6.5 Ω
R2 ∥ 6.5 = 3.586 Ω
Req = R1 + 3.586 = 3 + 3.586 = 6.586 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 30/6.586 = 4.555 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 4.555·3 = 16.34 V
IR2 = VA/R2 = 16.34/8 = 2.042 A

答案

IR2 = 2.042 A
3.节点分析

答案: I1 = 3.267 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (VA − Vk)/Rk，其中 Vk 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(VA − 15)/5 + (VA − (−24))/5 + (VA − 24)/20 = 0

求 VA

VA = (15/5 + (−24)/5 + 24/20) / (1/5 + 1/5 + 1/20) = −0.6/0.45 = −1.333 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I1 = (15 − VA)/R1 = (15 − (−1.333))/5 = 3.267 A

答案

I1 = 3.267 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: VA = 8.721 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0.3333·VA − 0.06667·VB = 2.5

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·VA。把它当作独立源处理，然后把含 VA 的项移到左边。

(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0.05·VA
−0.1167·VA + 0.1667·VB = 0

求解

Δ = (0.3333)(0.1667) − (−0.06667)(−0.1167) = 0.04778
VA = Δ1/Δ = 0.4167/0.04778 = 8.721 V
VB = Δ2/Δ = 0.2917/0.04778 = 6.105 V

答案

VA = 8.721 V
5.戴维南和诺顿

答案: Rth = 22.67 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​4 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·4/(8+4) = 2.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.667 + 20 = 22.67 Ω
6.戴维南和诺顿

答案: IL = 2.231 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​25 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·25/(12+25) = 8.108 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8.108 + 10 = 18.11 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​25 ΩAIs​2.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4.054 + 2.5·8.108 = 24.32 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 24.32 + 2.5·10 = 49.32 V
Rth​ = 18.11 Ω+−Vth​49.32 VRL​4 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 49.32/(18.11 + 4) = 2.231 A
7.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.2763 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2.061 ms
i(∞) = Vs/R = 10/33 = 0.303 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.303·(1 − e−5/2.061) = 0.2763 A

答案

i = 0.2763 A
8.RC 和 RL 暂态

答案: t = 26.49 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 1 kΩ · 22 µF = 22 ms
vC(t) = 20 + (18 − 20)·e−t/τ

求解时间

19.4 = 20 + (−2)·e−t/τ → e−t/τ = (19.4 − 20)/(18 − 20) = 0.3
t = τ·ln((18 − 20)/(19.4 − 20)) = 22·ln(3.333) = 26.49 ms

答案

t = 26.49 ms
9.交流阻抗和相量

答案: I = 0.05109 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.15 = 471.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3.183 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (468.1)²) = 469.8 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 24/469.8 = 0.05109 A

答案

I = 0.05109 A
10.交流阻抗和相量

答案: VL = 84.85 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·10·10⁻⁶) = 1414 rad/s
I = V/R = 24/20 = 1.2 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 1414·0.05 = 70.71 Ω
VL = I·XL = 1.2·70.71 = 84.85 V

答案

VL = 84.85 V

这是电源电压的 Q = 3.536 倍。

11.交流功率和功率因数

答案: I = 113.7 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 17000/(230·0.65) = 113.7 A

答案

I = 113.7 A
12.交流功率和功率因数

答案: Inew = 87.72 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 20·tan(49.46°) = 23.38 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 20·tan(18.19°) = 6.574 kvar
QC = Q1 − Q2 = 16.81 kvar

新的线路电流

Inew = P/(V·cos φ2) = 20000/(240·0.95) = 87.72 A

答案

Inew = 87.72 A
13.三相电

答案: P = 13.3 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·480·20 = 16.63 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 16.63·0.8 = 13.3 kW

答案

P = 13.3 kW
14.三相电

答案: QC = 79.52 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 200·tan(acos 0.75) = 200·0.8819 = 176.4 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0.9) = 200·0.4843 = 96.86 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 79.52 kvar

答案

QC = 79.52 kvar
15.变压器

答案: I1 = 0.9583 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

二次电压和电流

V2 = 4600/20 = 230 V
I2 = 230/12 = 19.17 A

一次电流

理想变压器没有损耗：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I1 = I2/20 = 0.9583 A

答案

I1 = 0.9583 A

验算：从一次侧看负载为 a²·RL = 4800 Ω，4600/4800 得到相同的电流。

16.变压器

答案: Sη,max = 50 kVA

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

铜损等于铁损

x²·2400 = 600 → x = √(600/2400) = 0.5

最高效率时的负载

Sη,max = x·S = 0.5·100 = 50 kVA

答案

Sη,max = 50 kVA

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