电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）: V_D = 0.7 V when conducting
放大区: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
固定偏置: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
分压偏置: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
分压器的戴维南等效: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
集电极回路: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
饱和: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压: V_o = D·V_in
升压: V_o = V_in/(1 − D)
反相升降压: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想功率平衡: V_inI_in = V_oI_o
电感纹波: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
电感平均电流: 降压 I_o；升压和升降压 I_o/(1 − D)
输出纹波: 降压 ΔI_L/(8fC)；升压和升降压 I_o·D/(fC)
CCM 边界: 降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
求开关导通时的电感电压，再求 ΔI_L = V_L·D/(L·f)。
求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔI_L/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等

一个 5.1 V 的齐纳稳压器通过 220 Ω 接到 24 V，并向 2200 Ω 的负载供电。求齐纳电流 I_Z。

V_in = 24 VV_Z = 5.1 VR = 220 ΩR_L = 2200 Ω

I_Z = mA

2.二极管与晶体管困难

一只 β = 100 的 NPN 晶体管控制一个接在 V_CC = 12 V 与其集电极之间的 150 Ω 负载电阻。发射极接地。基极由 5 V 逻辑输出经基极电阻 R_B = 2.2 kΩ 驱动。取 V_BE = 0.7 V，V_CE(sat) = 0.2 V。求输入为高电平时的集电极电流 I_C，以 mA 计。先判断晶体管是否饱和。

V_CC = 12 VR_C = 150 Ωβ = 100V_in = 5 VV_BE = 0.7 VV_CE(sat) = 0.2 VR_B = 2.2 kΩ

I_C = mA

3.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 2.5 VR_a = 47 kΩR_b = 22 kΩR₁ = 22 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

4.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = 0.4 VV₂ = −0.7 VR₁ = 47 kΩR₂ = 2 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 15 VR = 68 ΩL = 47 mHt = 1 ms

v_L = V

6.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 12 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 10.8 V 时它必须触发，恰好在开始后 500 ms。已知 C = 22 µF，求所需的电阻 R。

V_s = 12 VV_th = 10.8 VT = 500 msC = 22 µF

R = kΩ

7.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

8.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 36 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

9.DC-DC 变换器中等

某理想降压变换器把 15 V 变成 9 V，开关频率为 200 kHz。求把电感纹波电流峰峰值保持在 0.2 A 的电感量 L。

Vin = 15 VVo = 9 Vf = 200 kHzΔI_L = 0.2 A

L = µH

10.DC-DC 变换器困难

某理想升压变换器在 250 kHz 下把 36 V 变成 144 V，负载为 2 Ω。求连续导通所需的最小电感 L_crit。

Vin = 36 VVo = 144 Vf = 250 kHzR = 2 Ω

L_crit = µH

11.惠斯通电桥与应变片中等

某电桥的四个臂均为 220 Ω，V_s = 6 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 0.55 Ω。用小变化近似求输出 V_ab，单位为 mV。

V_s = 6 VR = 220 ΩΔR = 0.55 Ω

V_ab = mV

12.惠斯通电桥与应变片困难

某称重传感器（应变片全桥）在额定载荷 100 kg 时的额定输出为 2 mV/V。激励电压为 10 V。求它在 60 kg 载荷下的输出 V_o。

2 mV/VF_rated = 100 kgV_s = 10 VF = 60 kg

V_o = mV

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 6, 10, 11, 12, 13, 15) 的最简积之和 (SOP) 形式。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 6, 10, 11, 12, 13, 15)

N =

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个上升沿触发的 JK 触发器从 Q = 0 开始，在 8 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？

Q₀ = 0JK

N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: I_Z = 83.59 mA

齐纳稳压器：反向偏置的齐纳二极管在电流保持高于最小值 I_Z,min 时维持其电压 V_Z。串联电阻 R 承担输入与输出之间的差值：I_R = (V_in − V_Z)/R。该电流分给负载 I_L = V_Z/R_L 和齐纳管 I_Z = I_R − I_L。按最坏情况设计：最低输入与最大负载时仍须留有 I_Z,min，而最高输入与空载时齐纳管功率最大，P_Z = V_Z·I_Z。

电阻电流

I_R = 18.9/220 = 85.91 mA

负载电流

I_L = 5.1/2200 = 2.318 mA

齐纳电流

I_Z = 85.91 − 2.318 = 83.59 mA

答案

I_Z = 83.59 mA

2.二极管与晶体管

答案: I_C = 78.67 mA

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 V_CE = V_CE(sat)，集电极电流由负载决定：I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C。饱和至少需要 I_B = I_C(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，I_C = β·I_B。

基极电流

I_B = (5 − 0.7)/2.2 kΩ = 1955 µA

饱和还是放大？

β·I_B 大于 I_C(sat)，所以晶体管饱和。

β·I_B = 195.5 mA

I_C(sat) = (12 − 0.2)/150 = 78.67 mA

集电极电流

I_C = I_C(sat) = 78.67 mA

答案

I_C = 78.67 mA

晶体管处于饱和状态。

3.运放电路

答案: V_out = 2.5 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 2.5·22/(47 + 22) = 0.7971 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0.7971·(1 + 47/22) = 2.5 V

答案

V_out = 2.5 V

4.运放电路

答案: V_out = 3.415 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 0.4/47 = 0.008511 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0.7/2 = −0.35 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0.3415 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −10·(−0.3415) = 3.415 V

答案

V_out = 3.415 V

5.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 3.53 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 47 mH / 68 Ω = 0.6912 ms

i(∞) = V_s/R = 15/68 = 0.2206 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−1/0.6912 = 3.53 V

答案

v_L = 3.53 V

6.RC 和 RL 暂态

答案: R = 9.87 kΩ

所需的时间常数

10.8 = 12·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(12/(12 − 10.8))

τ = 500/2.303 = 217.1 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 217.1/22 = 9.87 kΩ

答案

R = 9.87 kΩ

7.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.4167 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 2 + 4 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 12·6/(12+6) = 4 Ω

R_eq = R₁ + 4 = 20 + 4 = 24 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/24 = 1.25 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1.25·20 = 5 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5/12 = 0.4167 A

答案

I_R2 = 0.4167 A

8.串并联电阻

答案: R_eq = 8.905 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 4 + 5 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 5.625 Ω

R₃ + 5.625 = 11.63 Ω

R₂ ∥ 11.63 = 5.905 Ω

R_eq = R₁ + 5.905 = 3 + 5.905 = 8.905 Ω

答案

R_eq = 8.905 Ω

9.DC-DC 变换器

答案: L = 90 µH

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）V_o = D·V_in，升压（boost）V_o = V_in/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：V_in·I_in = V_o·I_o。开关导通期间，电感电流上升 ΔI_L = V_L·D·T/L，其中降压变换器的 V_L = V_in − V_o，升压和升降压变换器为 V_in。输出纹波对降压变换器为 ΔV_o = ΔI_L/(8fC)，对升压和升降压变换器为 I_o·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔI_L/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 9/15 = 0.6

电感

L = 6·0.6/(0.2·200·10³) = 90 µH

答案

L = 90 µH

10.DC-DC 变换器

答案: L_crit = 0.1875 µH

占空比

D = 1 − 36/144 = 0.75

边界条件

令电感平均电流等于纹波电流的一半，解出 L。

L_crit = D(1 − D)²·R/(2f)

临界电感

L_crit = 0.75(1 − 0.75)²·2/(2250·10³) = 0.1875 µH

答案

L_crit = 0.1875 µH

11.惠斯通电桥与应变片

答案: V_ab = 3.75 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

相对变化

ΔR/R = 0.55/220 = 0.0025

线性化输出

V_ab ≈ 6·0.0025/4 = 3.75 mV

答案

V_ab = 3.75 mV

精确值为 3.745 mV；只要 ΔR/R 很小，这个近似就很好。

12.惠斯通电桥与应变片

答案: V_o = 12 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

满量程输出

2·10 = 20 mV

该载荷下的输出

V_o = 20·60/100 = 12 mV

答案

V_o = 12 mV

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 5

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

ACD

A′B′D

AB′C

ABC′

A′BCD′

最简 SOP 形式

F = ACD + A′B′D + AB′C + ABC′ + A′BCD′

N = 5

答案

N = 5

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

JK 触发器：00 保持，01 复位 (Q = 0)，10 置位 (Q = 1)，11 翻转。

1: J = 0, K = 1 → Q = 0

2: J = 1, K = 0 → Q = 1

3: J = 1, K = 0 → Q = 1

4: J = 1, K = 0 → Q = 1

5: J = 0, K = 0 → Q = 1

6: J = 1, K = 0 → Q = 1

7: J = 1, K = 1 → Q = 0

8: J = 1, K = 1 → Q = 1

数出变化的次数

0 → 0 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 0 → 1

N = 3

答案

N = 3

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