电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
+−20 V470 Ω5.1 V470 ΩIZ​ = ?

一个 5.1 V 的齐纳稳压器通过 470 Ω 接到 20 V，并向 470 Ω 的负载供电。求齐纳电流 IZ。

Vin = 20 VVZ = 5.1 VR = 470 ΩRL = 470 Ω
IZ = mA
2.二极管与晶体管困难
RC​ = 100 Ωβ = 150IC​ = ?VCC​ = 9 V5 VRB​ = 33 kΩ

一只 β = 150 的 NPN 晶体管控制一个接在 VCC = 9 V 与其集电极之间的 100 Ω 负载电阻。发射极接地。基极由 5 V 逻辑输出经基极电阻 RB = 33 kΩ 驱动。取 VBE = 0.7 V，VCE(sat) = 0.2 V。 求输入为高电平时的集电极电流 IC，以 mA 计。先判断晶体管是否饱和。

VCC = 9 VRC = 100 Ωβ = 150Vin = 5 VVBE = 0.7 VVCE(sat) = 0.2 VRB = 33 kΩ
IC = mA
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 22 kΩR1​ = 10 kΩVin​ = −5 VRa​ = 4.7 kΩRb​ = 2 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = −5 VRa = 4.7 kΩRb = 2 kΩR1 = 10 kΩRf = 22 kΩ
Vout = V
4.运放电路困难
−+Vout​C = 1 µFVin​ = 2.8 VR = 47 kΩ

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±12 V。在 t = 0 施加恒定输入 Vin = 2.8 V 时，电容未充电。 t = 0 之后多长时间输出达到饱和？求 t。

Vin = 2.8 VR = 47 kΩC = 1 µFVsat = ±12 V
t = ms
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​5 Vt = 0R = 15 ΩL100 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时的电流 i。

Vs = 5 VR = 15 ΩL = 100 mHt = 5 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 Vt = 0R = 1 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 3 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 3 V，极性如图所示。 求 t = 300 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 12 VR = 1 kΩC = 220 µFvC(0) = 3 Vt = 300 ms
vC = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 6 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​10 ΩIR2​AR4​20 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 18 VR1 = 6 ΩR2 = 10 ΩR3 = 2 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 15 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​15 ΩIR2​AR4​5 ΩBR6​6 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 15 ΩR3 = 25 ΩR4 = 5 ΩR5 = 15 ΩR6 = 6 Ω
IR2 = A
9.DC-DC 变换器中等
+−36 VLSCR = 20 Ω+−48 V

某理想升压变换器把 36 V 变成 48 V，负载为 20 Ω。求电感平均电流 IL。

Vin​ = 36 VVo​ = 48 VR = 20 Ω
IL = A
10.DC-DC 变换器困难
+−36 VSLC = 47 µFR = 8 Ω−+−12 V

某理想 升降压 变换器在 500 kHz 下把 36 V 变成 −12 V，负载为 8 Ω。输出电容为 47 µF。求输出电压纹波的峰峰值 ΔVo，单位为 mV。

Vin​ = 36 VVo​ = −12 Vf = 500 kHzC = 47 µFR = 8 Ω
ΔVo = mV
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−15 V100 Ω100 Ω + ΔR100 Ω100 Ωab+−Vab​ = ?

某电桥的四个臂均为 100 Ω，Vs = 15 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 5 Ω。求精确输出 Vab，单位为 mV。

Vs = 15 VR = 100 ΩΔR = 5 Ω
Vab = mV
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−3 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−Vo​ = ?

某电桥的各臂为 350 Ω，激励电压为 3 V，采用 一个工作应变片（1/4 桥）。灵敏系数为 2.05，应变为 800 µε。求电桥输出 Vo，单位为 mV。

Vs = 3 VGF = 2.05ε = 800 µε
Vo = mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD000111100001111000110312140507061120130150141809011010

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 8, 12) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 8, 12)
L =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
ABCD00011110000111101001X302X4151716012X13015X141819X11010

求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 5, 6, 7, 8, 9) + d(3, 4, 11, 13, 14) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 5, 6, 7, 8, 9) + d(3, 4, 11, 13, 14)
N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: IZ = 20.85 mA

齐纳稳压器：反向偏置的齐纳二极管在电流保持高于最小值 IZ,min 时维持其电压 VZ。串联电阻 R 承担输入与输出之间的差值：IR = (Vin − VZ)/R。该电流分给负载 IL = VZ/RL 和齐纳管 IZ = IR − IL。按最坏情况设计：最低输入与最大负载时仍须留有 IZ,min，而最高输入与空载时齐纳管功率最大，PZ = VZ·IZ。

电阻电流

IR = 14.9/470 = 31.7 mA

负载电流

IL = 5.1/470 = 10.85 mA

齐纳电流

IZ = 31.7 − 10.85 = 20.85 mA

答案

IZ = 20.85 mA
2.二极管与晶体管

答案: IC = 19.55 mA

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 VCE = VCE(sat)，集电极电流由负载决定：IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC。饱和至少需要 IB = IC(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，IC = β·IB。

基极电流

IB = (5 − 0.7)/33 kΩ = 130.3 µA

饱和还是放大？

β·IB 小于 IC(sat)，所以晶体管仍处于放大区。

β·IB = 19.55 mA
IC(sat) = (9 − 0.2)/100 = 88 mA

集电极电流

IC = β·IB = 19.55 mA

答案

IC = 19.55 mA

晶体管处于放大区，所以负载没有完全接通。

3.运放电路

答案: Vout = −4.776 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = −5·2/(4.7 + 2) = −1.493 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = −1.493·(1 + 22/10) = −4.776 V

答案

Vout = −4.776 V
4.运放电路

答案: t = 201.4 ms

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 47 kΩ · 1 µF = 47 ms
斜坡速率 = −Vin/(RC) = −2.8/47 = −0.05957 V/ms

达到饱和的时间

|Vin|·t/(RC) = Vsat → t = Vsat·RC/|Vin| = 12·47/2.8 = 201.4 ms

答案

t = 201.4 ms
5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.1759 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 15 Ω = 6.667 ms
i(∞) = Vs/R = 5/15 = 0.3333 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.3333·(1 − e−5/6.667) = 0.1759 A

答案

i = 0.1759 A
6.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 9.698 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 3 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 1 kΩ · 220 µF = 220 ms
vC(t) = 12 + (3 − 12)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(300) = 12 + (−9)·e−300/220 = 9.698 V

答案

vC = 9.698 V
7.串并联电阻

答案: IR2 = 0.9612 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 6 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​10 ΩAR4​20 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 2 + 20 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 10·22/(10+22) = 6.875 Ω
Req = R1 + 6.875 = 6 + 6.875 = 12.88 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 18/12.88 = 1.398 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 1.398·6 = 9.612 V
IR2 = VA/R2 = 9.612/10 = 0.9612 A

答案

IR2 = 0.9612 A
8.串并联电阻

答案: IR2 = 0.2649 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 15 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​15 ΩAR4​5 ΩBR6​6 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 15 + 6 = 21 Ω
R4 ∥ 21 = 4.038 Ω
R3 + 4.038 = 29.04 Ω
R2 ∥ 29.04 = 9.891 Ω
Req = R1 + 9.891 = 15 + 9.891 = 24.89 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 10/24.89 = 0.4018 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0.4018·15 = 3.974 V
IR2 = VA/R2 = 3.974/15 = 0.2649 A

答案

IR2 = 0.2649 A
9.DC-DC 变换器

答案: IL = 3.2 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 1 − 36/48 = 0.25

负载电流

Io = 48/20 = 2.4 A

电感电流

IL = Io/(1 − D) = 2.4/0.75 = 3.2 A

答案

IL = 3.2 A
10.DC-DC 变换器

答案: ΔVo = 15.96 mV

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 12/(36 + 12) = 0.25

负载电流

Io = 12/8 = 1.5 A

输出纹波

ΔVo = 1.5·0.25/(500·10³·47·10⁻⁶) = 15.96 mV

答案

ΔVo = 15.96 mV
11.惠斯通电桥与应变片

答案: Vab = 182.9 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

节点电压

Va = 15·105/205 = 7.683 V
Vb = 7.5 V

出量

Vab = 182.9 mV

答案

Vab = 182.9 mV

线性估计 Vs·ΔR/(4R) = 187.5 mV 偏高 2.5 %：1/4 桥并不完全是线性的。

12.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 1.23 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2.05·800·10⁻⁶ = 0.00164

电桥输出

Vo ≈ Vs·GF·ε/4 = 3·0.00164/4 = 1.23 mV

答案

Vo = 1.23 mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 14

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABCD000111100001111000110312140507061120130150141809011010

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

BC′D′
AC′D′
A′B′C′D
A′B′CD′

最简 SOP 形式

F = BC′D′ + AC′D′ + A′B′C′D + A′B′CD′
L = 14

答案

L = 14
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

B′C′D′, BC′D, BCD′, A′C′D′, A′CD, AC′D, A′B, AB′D, AB′C′
ABCD00011110000111101001X302X4151716012X13015X141819X11010

最小覆盖

F = B′C′D′ + AC′D + A′B
N = 3

答案

N = 3

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

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