电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）: V_D = 0.7 V when conducting
放大区: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
固定偏置: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
分压偏置: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
分压器的戴维南等效: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
集电极回路: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
饱和: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压: V_o = D·V_in
升压: V_o = V_in/(1 − D)
反相升降压: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想功率平衡: V_inI_in = V_oI_o
电感纹波: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
电感平均电流: 降压 I_o；升压和升降压 I_o/(1 − D)
输出纹波: 降压 ΔI_L/(8fC)；升压和升降压 I_o·D/(fC)
CCM 边界: 降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
求开关导通时的电感电压，再求 ΔI_L = V_L·D/(L·f)。
求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔI_L/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等

一只 β = 100 的 NPN 晶体管由 V_CC = 15 V 分压偏置：R₁ = 100 kΩ 接在 V_CC 与基极之间，R₂ = 12 kΩ 接在基极与地之间。集电极电阻为 R_C = 5.6 kΩ，发射极电阻为 R_E = 680 Ω。取 V_BE = 0.7 V，并使用分压器的戴维南等效电路（不忽略基极电流）。求集电极–发射极电压 V_CE。

V_CC = 15 VR₁ = 100 kΩR₂ = 12 kΩR_C = 5.6 kΩR_E = 680 Ωβ = 100

V_CE = V

2.二极管与晶体管困难

一只 β = 150 的 NPN 晶体管控制一个接在 V_CC = 9 V 与其集电极之间的 150 Ω 负载电阻。发射极接地。基极由 3.3 V 逻辑输出经基极电阻 R_B 驱动。取 V_BE = 0.7 V，V_CE(sat) = 0.2 V。为保证可靠开关，按饱和所需最小基极电流的 10 倍来设计基极电流。求 R_B，以 kΩ 计。

V_CC = 9 VR_C = 150 Ωβ = 150V_in = 3.3 VV_BE = 0.7 VV_CE(sat) = 0.2 V过驱动系数 = 10

R_B = kΩ

3.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 10。

R₁ = 10 kΩA_v = 10

R_f = kΩ

4.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求流过反馈电阻、流向输出端的电流 I_f。

V₁ = −0.9 VV₂ = −1.9 VR₁ = 2 kΩR₂ = 1 kΩR_f = 4.7 kΩ

I_f = mA

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 12 VR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms

v_L = V

6.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 9 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 5.4 V 时它必须触发，恰好在开始后 20 ms。已知 R = 22 kΩ，求所需的电容 C。

V_s = 9 VV_th = 5.4 VT = 20 msR = 22 kΩ

C = µF

7.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

8.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 36 VR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

9.DC-DC 变换器中等

某理想反相升降压变换器在 40 kHz、L = 330 µH 下把 9 V 变成 −21 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔI_L。

Vin = 9 VVo = −21 Vf = 40 kHzL = 330 µH

ΔI_L = A

10.DC-DC 变换器困难

某降压变换器在 250 kHz 下把 15 V 变成 4.5 V，负载为 2 Ω，L = 68 µH，C = 470 µF。求输出电压纹波的峰峰值 ΔV_o，单位为 mV。

Vin = 15 VVo = 4.5 Vf = 250 kHzL = 68 µHC = 470 µF

ΔV_o = mV

11.惠斯通电桥与应变片中等

求图示电桥从输出端 a、b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V_s = 15 VR₁ = 500 ΩR₂ = 500 ΩR₃ = 500 ΩR₄ = 1000 Ω

R_th = Ω

12.惠斯通电桥与应变片困难

某构件（E = 70 GPa）上的应变片（GF = 2）接成 1/4 桥，激励电压为 3 V。输出读数为 2.25 mV。求轴向应力 σ，单位为 MPa。

V_s = 3 VGF = 2V_o = 2.25 mVE = 70 GPa

σ = MPa

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

把 F = B′C′ + ABC′ + AB′ + A′BC′ 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？

F = B′C′ + ABC′ + AB′ + A′BC′

L =

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

对于 F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 5, 10, 13) + d(1, 3, 9, 12)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 5, 10, 13) + d(1, 3, 9, 12)

N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: V_CE = 7.817 V

BJT 静态工作点：在放大区，V_BE = 0.7 V，I_C = β·I_B，I_E = (β + 1)·I_B。用 KVL 由基极回路求 I_B，再求 I_C，然后由集电极–发射极回路求 V_CE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂)，R_TH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

分压器的戴维南等效

V_TH = 15·12/(100 + 12) = 1.607 V

R_TH = 100·12/(100 + 12) = 10.71 kΩ

基极电流

沿基极回路列 KVL；发射极电流为 (β + 1)·I_B。

I_B = (1.607 − 0.7)/(10.71 + 101·0.68) = 11.43 µA

集电极电流

I_C = 100·11.43 µA = 1.143 mA

I_E = 101·11.43 µA = 1.154 mA

集电极–发射极电压

V_CE = 15 − 1.143·5.6 − 1.154·0.68 = 7.817 V

答案

V_CE = 7.817 V

2.二极管与晶体管

答案: R_B = 0.6648 kΩ

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 V_CE = V_CE(sat)，集电极电流由负载决定：I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C。饱和至少需要 I_B = I_C(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，I_C = β·I_B。

饱和时的集电极电流

I_C(sat) = (9 − 0.2)/150 = 58.67 mA

最小基极电流

I_B(min) = I_C(sat)/β = 58.67/150 = 391.1 µA

设计基极电流

I_B = 10·391.1 µA = 3911 µA

基极电阻

R_B = (3.3 − 0.7)/I_B = 2.6 V/3.911 mA = 0.6648 kΩ

答案

R_B = 0.6648 kΩ

3.运放电路

答案: R_f = 90 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (10 − 1)·10 = 90 kΩ

答案

R_f = 90 kΩ

4.运放电路

答案: I_f = −2.35 mA

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −0.9/2 = −0.45 mA

I₂ = V₂/R₂ = −1.9/1 = −1.9 mA

I_f = I₁ + I₂ = −2.35 mA

答案

I_f = −2.35 mA

5.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 5.752 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1.36 ms

i(∞) = V_s/R = 12/50 = 0.24 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 12·e^−1/1.36 = 5.752 V

答案

v_L = 5.752 V

6.RC 和 RL 暂态

答案: C = 0.9921 µF

所需的时间常数

5.4 = 9·(1 − e^−20/τ) → τ = 20/ln(9/(9 − 5.4))

τ = 20/0.9163 = 21.83 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 21.83/22 = 0.9921 µF

答案

C = 0.9921 µF

7.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.3429 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 20 = 32 Ω

R₂ ∥ 32 = 20·32/(20+32) = 12.31 Ω

R_eq = R₁ + 12.31 = 20 + 12.31 = 32.31 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/32.31 = 0.5571 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 0.5571·20 = 6.857 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6.857/20 = 0.3429 A

答案

I_R2 = 0.3429 A

8.串并联电阻

答案: R_eq = 6.222 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 8 + 5 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 8.553 Ω

R₃ + 8.553 = 16.55 Ω

R₂ ∥ 16.55 = 3.222 Ω

R_eq = R₁ + 3.222 = 3 + 3.222 = 6.222 Ω

答案

R_eq = 6.222 Ω

9.DC-DC 变换器

答案: ΔI_L = 0.4773 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）V_o = D·V_in，升压（boost）V_o = V_in/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：V_in·I_in = V_o·I_o。开关导通期间，电感电流上升 ΔI_L = V_L·D·T/L，其中降压变换器的 V_L = V_in − V_o，升压和升降压变换器为 V_in。输出纹波对降压变换器为 ΔV_o = ΔI_L/(8fC)，对升压和升降压变换器为 I_o·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔI_L/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 21/(9 + 21) = 0.7

导通期间的电感电压

S 导通时，电感直接跨接在 V_in 两端。

V_L = 9 V

纹波电流

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 9·0.7/(330·10⁻⁶·40·10³) = 0.4773 A

答案

ΔI_L = 0.4773 A

10.DC-DC 变换器

答案: ΔV_o = 0.1971 mV

占空比

D = 4.5/15 = 0.3

电感纹波电流

ΔI_L = (15 − 4.5)·0.3/(68·10⁻⁶·250·10³) = 0.1853 A

输出纹波

ΔV_o = 0.1853/(8·250·10³·470·10⁻⁶) = 0.1971 mV

答案

ΔV_o = 0.1971 mV

11.惠斯通电桥与应变片

答案: R_th = 583.3 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

电源短路

R₁∥R₂ = 500·500/1000 = 250 Ω

R₃∥R₄ = 500·1000/1500 = 333.3 Ω

戴维南电阻

R_th = 583.3 Ω

答案

R_th = 583.3 Ω

12.惠斯通电桥与应变片

答案: σ = 105 MPa

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

应变

ε = 4·0.00225/(3·2) = 0.0015

应力

σ = 70·10³ MPa·0.0015 = 105 MPa

答案

σ = 105 MPa

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 3

布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。

表达式的最小项

B′C′ → m(0, 4)

ABC′ → m(6)

AB′ → m(4, 5)

A′BC′ → m(2)

圈组并读出结果

F = C′ + AB′

数出文字个数

L = 3

答案

L = 3

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

C′D, B′CD′, A′B′, ABC′

必要质蕴涵项

C′D, B′CD′, A′B′

N = 3

答案

N = 3

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