电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）: V_D = 0.7 V when conducting
放大区: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
固定偏置: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
分压偏置: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
分压器的戴维南等效: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
集电极回路: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
饱和: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压: V_o = D·V_in
升压: V_o = V_in/(1 − D)
反相升降压: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想功率平衡: V_inI_in = V_oI_o
电感纹波: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
电感平均电流: 降压 I_o；升压和升降压 I_o/(1 − D)
输出纹波: 降压 ΔI_L/(8fC)；升压和升降压 I_o·D/(fC)
CCM 边界: 降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
求开关导通时的电感电压，再求 ΔI_L = V_L·D/(L·f)。
求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔI_L/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等

一只 β = 200 的 NPN 晶体管由 V_CC = 15 V 分压偏置：R₁ = 100 kΩ 接在 V_CC 与基极之间，R₂ = 15 kΩ 接在基极与地之间。集电极电阻为 R_C = 2.7 kΩ，发射极电阻为 R_E = 470 Ω。取 V_BE = 0.7 V，并使用分压器的戴维南等效电路（不忽略基极电流）。求集电极–发射极电压 V_CE。

V_CC = 15 VR₁ = 100 kΩR₂ = 15 kΩR_C = 2.7 kΩR_E = 470 Ωβ = 200

V_CE = V

2.二极管与晶体管困难

一只 β = 200 的 NPN 晶体管控制一个接在 V_CC = 24 V 与其集电极之间的 680 Ω 负载电阻。发射极接地。基极由 5 V 逻辑输出经基极电阻 R_B 驱动。取 V_BE = 0.7 V，V_CE(sat) = 0.2 V。求仍能使晶体管刚好进入饱和的最大基极电阻 R_B，以 kΩ 计。

V_CC = 24 VR_C = 680 Ωβ = 200V_in = 5 VV_BE = 0.7 VV_CE(sat) = 0.2 V

R_B = kΩ

3.运放电路中等

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R₃ = R₁，R₄ = R₂。求输出电压 V_out。

V₁ = 2.8 VV₂ = 2.2 VR₁ = R₃ = 4.7 kΩR₂ = R₄ = 2 kΩ

V_out = V

4.运放电路困难

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。电阻比不匹配。求输出电压 V_out。

V₁ = 1 VV₂ = 0.7 VR₁ = 1 kΩR₂ = 1 kΩR₃ = 2 kΩR₄ = 1 kΩ

V_out = V

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

V_s = 20 VR = 20 ΩL = 22 mHt = 1 ms

W = mJ

6.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 400 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 30 VR₁ = 10 kΩR₂ = 10 kΩC = 22 µFt = 400 ms

v_C = V

7.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

8.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 24 VR₁ = 30 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 25 Ω

R_eq = Ω

9.DC-DC 变换器中等

某理想降压变换器在 200 kHz、L = 33 µH 下把 9 V 变成 2.7 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔI_L。

Vin = 9 VVo = 2.7 Vf = 200 kHzL = 33 µH

ΔI_L = A

10.DC-DC 变换器困难

某理想反相升降压变换器在 100 kHz 下把 36 V 变成 −12 V，负载为 10 Ω。求连续导通所需的最小电感 L_crit。

Vin = 36 VVo = −12 Vf = 100 kHzR = 10 Ω

L_crit = µH

11.惠斯通电桥与应变片中等

一个电阻为 100 Ω 的检流计接在图示电桥的 a 和 b 之间（V_s = 6 V）。求从 a 流向 b 的检流计电流 I_g，单位为 µA。

V_s = 6 VR₁ = 800 ΩR₂ = 150 ΩR₃ = 150 ΩR₄ = 500 ΩR_g = 100 Ω

I_g = µA

12.惠斯通电桥与应变片困难

某电桥的各臂为 120 Ω，激励电压为 3 V，采用一个工作应变片（1/4 桥）。灵敏系数为 2，应变为 400 µε。求电桥输出 V_o，单位为 mV。

V_s = 3 VGF = 2ε = 400 µε

V_o = mV

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

把 F = ABC + AB′ + A′BC 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？

F = ABC + AB′ + A′BC

L =

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

3 位二进制减法计数器从 7（十进制，Q = 111）开始。经过 13 个时钟脉冲后，它显示的计数 Q（十进制）是多少？

Q₀ = 713n = 3

Q =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: V_CE = 7.585 V

BJT 静态工作点：在放大区，V_BE = 0.7 V，I_C = β·I_B，I_E = (β + 1)·I_B。用 KVL 由基极回路求 I_B，再求 I_C，然后由集电极–发射极回路求 V_CE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂)，R_TH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

分压器的戴维南等效

V_TH = 15·15/(100 + 15) = 1.957 V

R_TH = 100·15/(100 + 15) = 13.04 kΩ

基极电流

沿基极回路列 KVL；发射极电流为 (β + 1)·I_B。

I_B = (1.957 − 0.7)/(13.04 + 201·0.47) = 11.69 µA

集电极电流

I_C = 200·11.69 µA = 2.337 mA

I_E = 201·11.69 µA = 2.349 mA

集电极–发射极电压

V_CE = 15 − 2.337·2.7 − 2.349·0.47 = 7.585 V

答案

V_CE = 7.585 V

2.二极管与晶体管

答案: R_B = 24.57 kΩ

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 V_CE = V_CE(sat)，集电极电流由负载决定：I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C。饱和至少需要 I_B = I_C(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，I_C = β·I_B。

饱和时的集电极电流

I_C(sat) = (24 − 0.2)/680 = 35 mA

最小基极电流

I_B(min) = I_C(sat)/β = 35/200 = 175 µA

基极电阻

R_B = (5 − 0.7)/I_B = 4.3 V/0.175 mA = 24.57 kΩ

答案

R_B = 24.57 kΩ

任何更小的基极电阻也能使晶体管饱和；实际中通常选小几倍的电阻。

3.运放电路

答案: V_out = −0.2553 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 2.2·2/(4.7 + 2) = 0.6567 V

V₋ = V₊

反相输入端的 KCL

(2.8 − 0.6567)/4.7 = (0.6567 − V_out)/2

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (2/4.7)·(2.2 − 2.8) = −0.2553 V

答案

V_out = −0.2553 V

4.运放电路

答案: V_out = −0.5333 V

+ 输入端的电压

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 0.7·1/(2 + 1) = 0.2333 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

V_out = −(1/1)·1 + (1 + 1/1)·0.2333 = −1 + 0.4667 = −0.5333 V

答案

V_out = −0.5333 V

5.RC 和 RL 暂态

答案: W = 3.922 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 20 Ω = 1.1 ms

i(∞) = V_s/R = 20/20 = 1 A

给定时刻的电流

i(t) = 1·(1 − e^−1/1.1) = 0.5971 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·22·0.5971² = 3.922 mJ

答案

W = 3.922 mJ

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 2.435 V

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 30·10/(10 + 10) = 15 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 10·22 = 220 ms

放电

v_C(t) = 15·e^−400/220 = 2.435 V

答案

v_C = 2.435 V

7.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.5625 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 10 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 10·15/(10+15) = 6 Ω

R_eq = R₁ + 6 = 10 + 6 = 16 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/16 = 0.9375 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0.9375·10 = 5.625 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5.625/10 = 0.5625 A

答案

I_R2 = 0.5625 A

8.串并联电阻

答案: R_eq = 32.65 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 10 + 25 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 10.5 Ω

R₃ + 10.5 = 22.5 Ω

R₂ ∥ 22.5 = 2.647 Ω

R_eq = R₁ + 2.647 = 30 + 2.647 = 32.65 Ω

答案

R_eq = 32.65 Ω

9.DC-DC 变换器

答案: ΔI_L = 0.2864 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）V_o = D·V_in，升压（boost）V_o = V_in/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：V_in·I_in = V_o·I_o。开关导通期间，电感电流上升 ΔI_L = V_L·D·T/L，其中降压变换器的 V_L = V_in − V_o，升压和升降压变换器为 V_in。输出纹波对降压变换器为 ΔV_o = ΔI_L/(8fC)，对升压和升降压变换器为 I_o·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔI_L/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 2.7/9 = 0.3

导通期间的电感电压

S 导通时，电感连接在 V_in 和 V_o 之间。

V_L = 9 − 2.7 = 6.3 V

纹波电流

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 6.3·0.3/(33·10⁻⁶·200·10³) = 0.2864 A

答案

ΔI_L = 0.2864 A

10.DC-DC 变换器

答案: L_crit = 28.13 µH

占空比

D = 12/(36 + 12) = 0.25

边界条件

令电感平均电流等于纹波电流的一半，解出 L。

L_crit = (1 − D)²·R/(2f)

临界电感

L_crit = (1 − 0.25)²·10/(2100·10³) = 28.13 µH

答案

L_crit = 28.13 µH

11.惠斯通电桥与应变片

答案: I_g = −10735 µA

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

戴维南电压

V_th = 6·(150/950 − 500/650) = −3.668 V

戴维南电阻

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 241.7 Ω

检流计电流

I_g = −3.668/(241.7 + 100) = −10735 µA

答案

I_g = −10735 µA

12.惠斯通电桥与应变片

答案: V_o = 0.6 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2·400·10⁻⁶ = 0.0008

电桥输出

V_o ≈ V_s·GF·ε/4 = 3·0.0008/4 = 0.6 mV

答案

V_o = 0.6 mV

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 4

布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。

表达式的最小项

ABC → m(7)

AB′ → m(4, 5)

A′BC → m(3)

圈组并读出结果

F = BC + AB′

数出文字个数

L = 4

答案

L = 4

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: Q = 2

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

完整循环

每 8 个脉冲使计数器回到相同的状态。

13 = 1·8 + 5

剩余脉冲之后的计数

Q = (7 − 5) mod 8 = 2

Q = 010₂

答案

Q = 2

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