电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
RC​ = 470 Ωβ = 150IC​ = ?VCC​ = 15 VRB​ = 680 kΩ

一只 β = 150 的 NPN 晶体管由电源 VCC = 15 V 经基极电阻 RB = 680 kΩ 偏置。集电极电阻为 RC = 470 Ω，发射极接地。取 VBE = 0.7 V，并假设晶体管工作在放大区。 求集电极电流 IC，以 mA 计。

VCC = 15 VRB = 680 kΩRC = 470 Ωβ = 150VBE = 0.7 V
IC = mA
2.二极管与晶体管困难
RC​ = 470 Ωβ = 150VCC​ = 5 V3.3 VRB​ = ?

一只 β = 150 的 NPN 晶体管控制一个接在 VCC = 5 V 与其集电极之间的 470 Ω 负载电阻。发射极接地。基极由 3.3 V 逻辑输出经基极电阻 RB 驱动。取 VBE = 0.7 V，VCE(sat) = 0.2 V。 为保证可靠开关，按饱和所需最小基极电流的 5 倍来设计基极电流。求 RB，以 kΩ 计。

VCC = 5 VRC = 470 Ωβ = 150Vin = 3.3 VVBE = 0.7 VVCE(sat) = 0.2 V过驱动系数 = 5
RB = kΩ
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 22 kΩVin​R1​ = 2 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±12 V。 反相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 Vin,max（峰值）。

R1 = 2 kΩRf = 22 kΩVsat = ±12 V
Vin,max = V
4.运放电路困难
−+Vout​C = 1 µFVin​ = −2.1 VR = 4.7 kΩ

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±12 V。在 t = 0 施加恒定输入 Vin = −2.1 V 时，电容未充电。 求 t = 10 ms 时的输出电压 Vout。

Vin = −2.1 VR = 4.7 kΩC = 1 µFVsat = ±12 Vt = 10 ms
Vout = V
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​15 Vt = 0R = 47 ΩL68 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

Vs = 15 VR = 47 ΩL = 68 mH
W(∞) = mJ
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 Vt = 0R = ?C4.7 µF+−vC​

一个定时器在 t = 0 时开始用 9 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 6.75 V 时它必须触发，恰好在开始后 50 ms。 已知 C = 4.7 µF，求所需的电阻 R。

Vs = 9 VVth = 6.75 VT = 50 msC = 4.7 µF
R = kΩ
7.串并联电阻中等
R1​ = 6 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩAR4​8 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 30 VR1 = 6 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 ΩR4 = 8 Ω
Req = Ω
8.串并联电阻困难
R1​ = 15 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​6 ΩAR4​15 ΩBR6​25 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 12 VR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 30 ΩR4 = 15 ΩR5 = 12 ΩR6 = 25 Ω
Req = Ω
9.DC-DC 变换器中等
tiL​Imax​ = ?Imin​Io​DTT2T

某降压变换器把 9 V 变成 6.3 V，负载为 4 Ω。开关频率为 250 kHz，L = 47 µH。求电感电流峰值 Imax。

Vin​ = 9 VVo​ = 6.3 Vf = 250 kHzL = 47 µHR = 4 Ω
Imax = A
10.DC-DC 变换器困难
+−24 VLSC = 470 µFR = 5 Ω+−48 V

某理想 升压 变换器在 250 kHz 下把 24 V 变成 48 V，负载为 5 Ω。输出电容为 470 µF。求输出电压纹波的峰峰值 ΔVo，单位为 mV。

Vin​ = 24 VVo​ = 48 Vf = 250 kHzC = 470 µFR = 5 Ω
ΔVo = mV
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−5 VR1​ = 150 ΩR2​ = 100 ΩR3​ = 200 ΩR4​ = 150 ΩabGRg​ = 500 Ω

一个电阻为 500 Ω 的检流计接在图示电桥的 a 和 b 之间（Vs = 5 V）。求从 a 流向 b 的检流计电流 Ig，单位为 µA。

Vs = 5 VR1 = 150 ΩR2 = 100 ΩR3 = 200 ΩR4 = 150 ΩRg = 500 Ω
Ig = µA
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−5 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−Vo​

某 1/4 桥（一个工作应变片，GF = 2）的激励电压为 5 V。要测量的最大应变为 500 µε，它在模数转换器输入端必须给出 10 V。求放大器增益 G。

Vs = 5 VGF = 2εmax = 500 µεVFS = 10 V
G =
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABC00011110011001031204150716

用卡诺图求 F(A, B, C) = Σm(0, 2, 5, 6) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？

F(A, B, C) = Σm(0, 2, 5, 6)
L =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
ABCD000111100001111000010302140517X6112113115114X8X9011010

求 F(A, B, C, D) = Σm(4, 7, 12, 13, 14, 15) + d(6, 8, 9) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？

F(A, B, C, D) = Σm(4, 7, 12, 13, 14, 15) + d(6, 8, 9)
L =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: IC = 3.154 mA

BJT 静态工作点：在放大区，VBE = 0.7 V，IC = β·IB，IE = (β + 1)·IB。用 KVL 由基极回路求 IB，再求 IC，然后由集电极–发射极回路求 VCE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂)，RTH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

基极电流

IB = (VCC − VBE)/RB = (15 − 0.7)/680 kΩ = 21.03 µA

集电极电流

IC = β·IB = 150·21.03 µA = 3.154 mA

答案

IC = 3.154 mA

验算：VCE = 13.52 V 远高于 0.2 V，所以晶体管确实工作在放大区。

2.二极管与晶体管

答案: RB = 7.638 kΩ

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 VCE = VCE(sat)，集电极电流由负载决定：IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC。饱和至少需要 IB = IC(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，IC = β·IB。

饱和时的集电极电流

IC(sat) = (5 − 0.2)/470 = 10.21 mA

最小基极电流

IB(min) = IC(sat)/β = 10.21/150 = 68.09 µA

设计基极电流

IB = 5·68.09 µA = 340.4 µA

基极电阻

RB = (3.3 − 0.7)/IB = 2.6 V/0.3404 mA = 7.638 kΩ

答案

RB = 7.638 kΩ
3.运放电路

答案: Vin,max = 1.091 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

|Av| = Rf/R1 = 22/2 = 11

削波前的最大输入

Vin,max = Vsat/|Av| = 12/11 = 1.091 V

答案

Vin,max = 1.091 V
4.运放电路

答案: Vout = 4.468 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 4.7 kΩ · 1 µF = 4.7 ms
斜坡速率 = −Vin/(RC) = −(−2.1)/4.7 = 0.4468 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±Vsat 以内，所以积分器尚未限幅。

Vout = −Vin·t/(RC) = −(−2.1)·10/4.7 = 4.468 V

答案

Vout = 4.468 V
5.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 3.463 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 47 Ω = 1.447 ms
i(∞) = Vs/R = 15/47 = 0.3191 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·68·0.3191² = 3.463 mJ

答案

W(∞) = 3.463 mJ
6.RC 和 RL 暂态

答案: R = 7.674 kΩ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

所需的时间常数

6.75 = 9·(1 − e−50/τ) → τ = 50/ln(9/(9 − 6.75))
τ = 50/1.386 = 36.07 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 36.07/4.7 = 7.674 kΩ

答案

R = 7.674 kΩ
7.串并联电阻

答案: Req = 12 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 6 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩAR4​8 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 4 + 8 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 12·12/(12+12) = 6 Ω
Req = R1 + 6 = 6 + 6 = 12 Ω

答案

Req = 12 Ω
8.串并联电阻

答案: Req = 20.23 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 15 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​6 ΩAR4​15 ΩBR6​25 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 12 + 25 = 37 Ω
R4 ∥ 37 = 10.67 Ω
R3 + 10.67 = 40.67 Ω
R2 ∥ 40.67 = 5.229 Ω
Req = R1 + 5.229 = 15 + 5.229 = 20.23 Ω

答案

Req = 20.23 Ω
9.DC-DC 变换器

答案: Imax = 1.655 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 6.3/9 = 0.7

平均电流和纹波电流

Io = 6.3/4 = 1.575 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 2.7·0.7/(47·10⁻⁶·250·10³) = 0.1609 A

峰值电流

Imax = 1.575 + 0.1609/2 = 1.655 A

答案

Imax = 1.655 A
10.DC-DC 变换器

答案: ΔVo = 40.85 mV

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 1 − 24/48 = 0.5

负载电流

Io = 48/5 = 9.6 A

输出纹波

ΔVo = 9.6·0.5/(250·10³·470·10⁻⁶) = 40.85 mV

答案

ΔVo = 40.85 mV
11.惠斯通电桥与应变片

答案: Ig = −221.2 µA

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

戴维南电压

Vth = 5·(100/250 − 150/350) = −0.1429 V

戴维南电阻

Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 145.7 Ω

检流计电流

Ig = −0.1429/(145.7 + 500) = −221.2 µA

答案

Ig = −221.2 µA
12.惠斯通电桥与应变片

答案: G = 8000

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

满量程时的电桥输出

Vo = 1.25 mV

增益

G = 10/0.00125 = 8000

答案

G = 8000
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 7

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABC00011110011001031204150716

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

BC′
A′C′
AB′C

最简 SOP 形式

F = BC′ + A′C′ + AB′C
L = 7

答案

L = 7
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 6

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

BD′, BC, AC′, AB
ABCD000111100001111000010302140517X6112113115114X8X9011010

最小覆盖

F = BD′ + BC + AC′
L = 6

答案

L = 6

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

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