电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）: V_D = 0.7 V when conducting
放大区: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
固定偏置: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
分压偏置: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
分压器的戴维南等效: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
集电极回路: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
饱和: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压: V_o = D·V_in
升压: V_o = V_in/(1 − D)
反相升降压: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想功率平衡: V_inI_in = V_oI_o
电感纹波: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
电感平均电流: 降压 I_o；升压和升降压 I_o/(1 − D)
输出纹波: 降压 ΔI_L/(8fC)；升压和升降压 I_o·D/(fC)
CCM 边界: 降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
求开关导通时的电感电压，再求 ΔI_L = V_L·D/(L·f)。
求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔI_L/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等

一只 β = 50 的 NPN 晶体管由电源 V_CC = 15 V 经基极电阻 R_B = 680 kΩ 偏置。集电极电阻为 R_C = 1.5 kΩ，发射极接地。取 V_BE = 0.7 V，并假设晶体管工作在放大区。求集电极电流 I_C，以 mA 计。

V_CC = 15 VR_B = 680 kΩR_C = 1.5 kΩβ = 50V_BE = 0.7 V

I_C = mA

2.二极管与晶体管困难

一个二极管被建模为 0.7 V 与 20 Ω 串联（高于 0.7 V 时导通）。它与一个 100 Ω 的电阻串联，接在 12 V 电源两端。求二极管线与负载线相交处的工作电流 I_D。

V_s = 12 VR = 100 ΩV₀ = 0.7 Vr_d = 20 Ω

I_D = mA

3.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 2.5 VR_a = 22 kΩR_b = 4.7 kΩR₁ = 4.7 kΩR_f = 4.7 kΩ

V_out = V

4.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±14 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = 2.3 V 时，电容未充电。 t = 0 之后多长时间输出达到饱和？求 t。

V_in = 2.3 VR = 22 kΩC = 2.2 µFV_sat = ±14 V

t = ms

5.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 2 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 1 ms 时的电流 i。

i(0) = 2 AR = 68 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

6.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R₂ 短路。 t = 0 之后多长时间电感电流达到 1.067 A？求 t。

V_s = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩL = 33 mH

t = ms

7.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

8.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

9.DC-DC 变换器中等

某理想升压变换器在 40 kHz、L = 330 µH 下把 36 V 变成 120 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔI_L。

Vin = 36 VVo = 120 Vf = 40 kHzL = 330 µH

ΔI_L = A

10.DC-DC 变换器困难

某降压变换器在 200 kHz、L = 10 µH 下把 48 V 变成 14.4 V。求使其保持连续导通的最小负载电流 I_o,min。

Vin = 48 VVo = 14.4 Vf = 200 kHzL = 10 µH

I_o,min = A

11.惠斯通电桥与应变片中等

求图示电桥从输出端 a、b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V_s = 2 VR₁ = 250 ΩR₂ = 600 ΩR₃ = 500 ΩR₄ = 1000 Ω

R_th = Ω

12.惠斯通电桥与应变片困难

某 1/4 桥（一个工作应变片，GF = 2）的激励电压为 3 V。要测量的最大应变为 600 µε，它在模数转换器输入端必须给出 2.5 V。求放大器增益 G。

V_s = 3 VGF = 2ε_max = 600 µεV_FS = 2.5 V

G =

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C) = Σm(0, 3, 5, 7) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？

F(A, B, C) = Σm(0, 3, 5, 7)

L =

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

求 F(A, B, C, D) = Σm(3, 5, 7, 10, 12, 14) + d(8, 9, 13, 15) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(3, 5, 7, 10, 12, 14) + d(8, 9, 13, 15)

N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: I_C = 1.051 mA

BJT 静态工作点：在放大区，V_BE = 0.7 V，I_C = β·I_B，I_E = (β + 1)·I_B。用 KVL 由基极回路求 I_B，再求 I_C，然后由集电极–发射极回路求 V_CE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂)，R_TH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

基极电流

I_B = (V_CC − V_BE)/R_B = (15 − 0.7)/680 kΩ = 21.03 µA

集电极电流

I_C = β·I_B = 50·21.03 µA = 1.051 mA

答案

I_C = 1.051 mA

验算：V_CE = 13.42 V 远高于 0.2 V，所以晶体管确实工作在放大区。

2.二极管与晶体管

答案: I_D = 94.17 mA

LED 与二极管电路：正向偏置的 LED 无论电流多大，压降都约为其正向电压 V_F（红光约 2 V，蓝光或白光约 3 V）。串联电阻决定电流：n 个 LED 串联时 R = (V_s − n·V_F)/I。用更精确的二极管模型 V = V₀ + I·r_d 时，工作点在二极管线与负载线 I = (V_s − V)/R 相交处，所以 I = (V_s − V₀)/(R + r_d)。

联立两个方程

12 = 0.7 + I·(100 + 20)

工作电流

I_D = 11.3/120 = 94.17 mA

V_D = 0.7 + 0.09417·20 = 2.583 V

答案

I_D = 94.17 mA

3.运放电路

答案: V_out = 0.8801 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 2.5·4.7/(22 + 4.7) = 0.4401 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0.4401·(1 + 4.7/4.7) = 0.8801 V

答案

V_out = 0.8801 V

4.运放电路

答案: t = 294.6 ms

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 22 kΩ · 2.2 µF = 48.4 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −2.3/48.4 = −0.04752 V/ms

达到饱和的时间

|V_in|·t/(RC) = V_sat → t = V_sat·RC/|V_in| = 14·48.4/2.3 = 294.6 ms

答案

t = 294.6 ms

5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.4706 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 47 mH / 68 Ω = 0.6912 ms

电流的衰减

i(t) = 2·e^−1/0.6912 = 0.4706 A

答案

i = 0.4706 A

6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 2.356 ms

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 10/(5 + 10) = 0.6667 A

i(∞) = 10/5 = 2 A

τ = L/R = 33/5 = 6.6 ms

i(t) = 2 + (0.6667 − 2)·e^−t/τ

求解时间

e^−t/τ = (1.067 − 2)/(0.6667 − 2) = 0.6997

t = 6.6·ln(1.429) = 2.356 ms

答案

t = 2.356 ms

7.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.6 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 8 + 12 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 15·20/(15+20) = 8.571 Ω

R_eq = R₁ + 8.571 = 20 + 8.571 = 28.57 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/28.57 = 1.05 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1.05·20 = 9 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9/15 = 0.6 A

答案

I_R2 = 0.6 A

8.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.394 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 5 + 15 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 1.818 Ω

R₃ + 1.818 = 21.82 Ω

R₂ ∥ 21.82 = 6.857 Ω

R_eq = R₁ + 6.857 = 2 + 6.857 = 8.857 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/8.857 = 2.032 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 2.032·2 = 13.94 V

I_R2 = V_A/R₂ = 13.94/10 = 1.394 A

答案

I_R2 = 1.394 A

9.DC-DC 变换器

答案: ΔI_L = 1.909 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）V_o = D·V_in，升压（boost）V_o = V_in/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：V_in·I_in = V_o·I_o。开关导通期间，电感电流上升 ΔI_L = V_L·D·T/L，其中降压变换器的 V_L = V_in − V_o，升压和升降压变换器为 V_in。输出纹波对降压变换器为 ΔV_o = ΔI_L/(8fC)，对升压和升降压变换器为 I_o·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔI_L/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 1 − 36/120 = 0.7

导通期间的电感电压

S 导通时，电感直接跨接在 V_in 两端。

V_L = 36 V

纹波电流

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 36·0.7/(330·10⁻⁶·40·10³) = 1.909 A

答案

ΔI_L = 1.909 A

10.DC-DC 变换器

答案: I_o,min = 2.52 A

占空比

D = 14.4/48 = 0.3

纹波电流

ΔI_L = 14.4·0.7/(10·10⁻⁶·200·10³) = 5.04 A

边界负载电流

I_o,min = ΔI_L/2 = 2.52 A

答案

I_o,min = 2.52 A

低于这个电流时，变换器进入断续导通模式，V_o 会升高到 D·V_in 以上。

11.惠斯通电桥与应变片

答案: R_th = 509.8 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

电源短路

R₁∥R₂ = 250·600/850 = 176.5 Ω

R₃∥R₄ = 500·1000/1500 = 333.3 Ω

戴维南电阻

R_th = 509.8 Ω

答案

R_th = 509.8 Ω

12.惠斯通电桥与应变片

答案: G = 2778

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

满量程时的电桥输出

V_o = 0.9 mV

增益

G = 2.5/0.0009 = 2778

答案

G = 2778

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 7

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

A′B′C′

最简 SOP 形式

F = BC + AC + A′B′C′

L = 7

答案

L = 7

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

BD, AD′, AC′, A′CD, AB

最小覆盖

F = BD + AD′ + A′CD

N = 3

答案

N = 3

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