电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）: V_D = 0.7 V when conducting
放大区: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
固定偏置: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
分压偏置: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
分压器的戴维南等效: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
集电极回路: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
饱和: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压: V_o = D·V_in
升压: V_o = V_in/(1 − D)
反相升降压: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想功率平衡: V_inI_in = V_oI_o
电感纹波: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
电感平均电流: 降压 I_o；升压和升降压 I_o/(1 − D)
输出纹波: 降压 ΔI_L/(8fC)；升压和升降压 I_o·D/(fC)
CCM 边界: 降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
求开关导通时的电感电压，再求 ΔI_L = V_L·D/(L·f)。
求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔI_L/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等

一只 β = 150 的 NPN 晶体管由 V_CC = 20 V 分压偏置：R₁ = 82 kΩ 接在 V_CC 与基极之间，R₂ = 6.8 kΩ 接在基极与地之间。集电极电阻为 R_C = 3.3 kΩ，发射极电阻为 R_E = 680 Ω。取 V_BE = 0.7 V，并使用分压器的戴维南等效电路（不忽略基极电流）。求集电极–发射极电压 V_CE。

V_CC = 20 VR₁ = 82 kΩR₂ = 6.8 kΩR_C = 3.3 kΩR_E = 680 Ωβ = 150

V_CE = V

2.二极管与晶体管困难

一只 β = 80 的 NPN 晶体管控制一个接在 V_CC = 24 V 与其集电极之间的 220 Ω 负载电阻。发射极接地。基极由 5 V 逻辑输出经基极电阻 R_B 驱动。取 V_BE = 0.7 V，V_CE(sat) = 0.2 V。为保证可靠开关，按饱和所需最小基极电流的 2 倍来设计基极电流。求 R_B，以 kΩ 计。

V_CC = 24 VR_C = 220 Ωβ = 80V_in = 5 VV_BE = 0.7 VV_CE(sat) = 0.2 V过驱动系数 = 2

R_B = kΩ

3.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±13 V。反相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 V_in,max（峰值）。

R₁ = 2 kΩR_f = 4.7 kΩV_sat = ±13 V

V_in,max = V

4.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = 1.4 VV₂ = 1.8 VR₁ = 10 kΩR₂ = 100 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 75%？求 t。

V_s = 12 VR = 22 ΩL = 10 mH

t = ms

6.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 300 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 24 VR₁ = 10 kΩR₂ = 10 kΩC = 68 µFt = 300 ms

v_C = V

7.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

8.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

9.DC-DC 变换器中等

某理想反相升降压变换器在 40 kHz、L = 220 µH 下把 9 V 变成 −21 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔI_L。

Vin = 9 VVo = −21 Vf = 40 kHzL = 220 µH

ΔI_L = A

10.DC-DC 变换器困难

某降压变换器在 100 kHz、L = 47 µH 下把 9 V 变成 4.5 V。求把输出纹波峰峰值限制在 25 mV 的输出电容 C。

Vin = 9 VVo = 4.5 Vf = 100 kHzL = 47 µHΔV_o = 25 mV

C = µF

11.惠斯通电桥与应变片中等

某电桥的四个臂均为 470 Ω，由 10 V 供电。当传感器 R₂ 变化时，输出读数为 V_ab = 238.1 mV。求 R₂ 的精确变化量 ΔR。

V_s = 10 VR = 470 ΩV_ab = 238.1 mV

ΔR = Ω

12.惠斯通电桥与应变片困难

一个 350 Ω、灵敏系数为 2 的应变片贴在钢棒上。受载时其电阻增大了 0.525 Ω。求应变 ε，单位为微应变（µε）。

R = 350 ΩGF = 2ΔR = 0.525 Ω

ε = µε

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

把 F = ABC′ + AC + ABC 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？

F = ABC′ + AC + ABC

L =

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

求 F(A, B, C, D) = Σm(6, 9, 10, 11, 12, 13, 15) + d(1, 14) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(6, 9, 10, 11, 12, 13, 15) + d(1, 14)

N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: V_CE = 15.44 V

BJT 静态工作点：在放大区，V_BE = 0.7 V，I_C = β·I_B，I_E = (β + 1)·I_B。用 KVL 由基极回路求 I_B，再求 I_C，然后由集电极–发射极回路求 V_CE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂)，R_TH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

分压器的戴维南等效

V_TH = 20·6.8/(82 + 6.8) = 1.532 V

R_TH = 82·6.8/(82 + 6.8) = 6.279 kΩ

基极电流

沿基极回路列 KVL；发射极电流为 (β + 1)·I_B。

I_B = (1.532 − 0.7)/(6.279 + 151·0.68) = 7.632 µA

集电极电流

I_C = 150·7.632 µA = 1.145 mA

I_E = 151·7.632 µA = 1.152 mA

集电极–发射极电压

V_CE = 20 − 1.145·3.3 − 1.152·0.68 = 15.44 V

答案

V_CE = 15.44 V

2.二极管与晶体管

答案: R_B = 1.59 kΩ

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 V_CE = V_CE(sat)，集电极电流由负载决定：I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C。饱和至少需要 I_B = I_C(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，I_C = β·I_B。

饱和时的集电极电流

I_C(sat) = (24 − 0.2)/220 = 108.2 mA

最小基极电流

I_B(min) = I_C(sat)/β = 108.2/80 = 1352 µA

设计基极电流

I_B = 2·1352 µA = 2705 µA

基极电阻

R_B = (5 − 0.7)/I_B = 4.3 V/2.705 mA = 1.59 kΩ

答案

R_B = 1.59 kΩ

3.运放电路

答案: V_in,max = 5.532 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

|A_v| = R_f/R₁ = 4.7/2 = 2.35

削波前的最大输入

V_in,max = V_sat/|A_v| = 13/2.35 = 5.532 V

答案

V_in,max = 5.532 V

4.运放电路

答案: V_out = −1.58 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 1.4/10 = 0.14 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.8/100 = 0.018 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.158 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −10·0.158 = −1.58 V

答案

V_out = −1.58 V

5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 0.6301 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 22 Ω = 0.4545 ms

i(∞) = V_s/R = 12/22 = 0.5455 A

求解时间

0.75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.75)

t = −0.4545·ln(0.25) = 0.6301 ms

答案

t = 0.6301 ms

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 7.719 V

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 24·10/(10 + 10) = 12 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 10·68 = 680 ms

放电

v_C(t) = 12·e^−300/680 = 7.719 V

答案

v_C = 7.719 V

7.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.6429 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 2 + 4 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 5·6/(5+6) = 2.727 Ω

R_eq = R₁ + 2.727 = 10 + 2.727 = 12.73 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/12.73 = 1.179 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1.179·10 = 3.214 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.214/5 = 0.6429 A

答案

I_R2 = 0.6429 A

8.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.86 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 10 + 2 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 2.4 Ω

R₃ + 2.4 = 10.4 Ω

R₂ ∥ 10.4 = 3.377 Ω

R_eq = R₁ + 3.377 = 2 + 3.377 = 5.377 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/5.377 = 1.86 A

答案

I_R1 = 1.86 A

9.DC-DC 变换器

答案: ΔI_L = 0.7159 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）V_o = D·V_in，升压（boost）V_o = V_in/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：V_in·I_in = V_o·I_o。开关导通期间，电感电流上升 ΔI_L = V_L·D·T/L，其中降压变换器的 V_L = V_in − V_o，升压和升降压变换器为 V_in。输出纹波对降压变换器为 ΔV_o = ΔI_L/(8fC)，对升压和升降压变换器为 I_o·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔI_L/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 21/(9 + 21) = 0.7

导通期间的电感电压

S 导通时，电感直接跨接在 V_in 两端。

V_L = 9 V

纹波电流

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 9·0.7/(220·10⁻⁶·40·10³) = 0.7159 A

答案

ΔI_L = 0.7159 A

10.DC-DC 变换器

答案: C = 23.94 µF

占空比

D = 4.5/9 = 0.5

电感纹波电流

ΔI_L = (9 − 4.5)·0.5/(47·10⁻⁶·100·10³) = 0.4787 A

电容

C = 0.4787/(8·100·10³·25·10⁻³) = 23.94 µF

答案

C = 23.94 µF

11.惠斯通电桥与应变片

答案: ΔR = 47 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

节点电压

V_a = 5 + 0.2381 = 5.238 V

解分压公式

R₂ = 470·5.238/(10 − 5.238) = 517 Ω

ΔR = 517 − 470 = 47 Ω

答案

ΔR = 47 Ω

12.惠斯通电桥与应变片

答案: ε = 750 µε

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 0.525/350 = 0.0015

应变

ε = 0.0015/2 = 0.00075 = 750 µε

答案

ε = 750 µε

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 4

布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。

表达式的最小项

ABC′ → m(6)

AC → m(5, 7)

ABC → m(7)

圈组并读出结果

F = AC + AB

数出文字个数

L = 4

答案

L = 4

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

B′C′D, BCD′, AD, AC, AB

最小覆盖

F = BCD′ + AD + AC + AB

N = 4

答案

N = 4

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