电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）: V_D = 0.7 V when conducting
放大区: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
固定偏置: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
分压偏置: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
分压器的戴维南等效: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
集电极回路: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
饱和: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压: V_o = D·V_in
升压: V_o = V_in/(1 − D)
反相升降压: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想功率平衡: V_inI_in = V_oI_o
电感纹波: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
电感平均电流: 降压 I_o；升压和升降压 I_o/(1 − D)
输出纹波: 降压 ΔI_L/(8fC)；升压和升降压 I_o·D/(fC)
CCM 边界: 降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
求开关导通时的电感电压，再求 ΔI_L = V_L·D/(L·f)。
求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔI_L/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等

一只 β = 80 的 NPN 晶体管由 V_CC = 18 V 分压偏置：R₁ = 56 kΩ 接在 V_CC 与基极之间，R₂ = 6.8 kΩ 接在基极与地之间。集电极电阻为 R_C = 3.3 kΩ，发射极电阻为 R_E = 470 Ω。取 V_BE = 0.7 V，并使用分压器的戴维南等效电路（不忽略基极电流）。求集电极–发射极电压 V_CE。

V_CC = 18 VR₁ = 56 kΩR₂ = 6.8 kΩR_C = 3.3 kΩR_E = 470 Ωβ = 80

V_CE = V

2.二极管与晶体管困难

一个 6.2 V 的齐纳稳压器必须向负载提供最多 10 mA。输入可能降到 15 V，齐纳管至少需要 1 mA 才能稳压。求能保持稳压的最大串联电阻 R_max。

V_in,min = 15 VV_Z = 6.2 VI_L,max = 10 mAI_Z,min = 1 mA

R_max = Ω

3.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 0.1 VR₁ = 1 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

4.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。输入为 V_in = −0.55 V。求输出电压 V_out。

R₁ = 1 kΩR_f1 = 1 kΩR₂ = 22 kΩR_f2 = 2 kΩV_in = −0.55 V

V_out = V

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 90%？求 t。

V_s = 15 VR = 68 ΩL = 220 mH

t = ms

6.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。求 t = 1 ms 时的电感电流 i。

V_s = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

7.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

8.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 12 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

9.DC-DC 变换器中等

某降压变换器把 48 V 变成 19.2 V，负载为 2 Ω。开关频率为 50 kHz，L = 68 µH。求电感电流峰值 I_max。

Vin = 48 VVo = 19.2 Vf = 50 kHzL = 68 µHR = 2 Ω

I_max = A

10.DC-DC 变换器困难

某理想升压变换器在 50 kHz 下把 15 V 变成 30 V，负载为 25 Ω。求连续导通所需的最小电感 L_crit。

Vin = 15 VVo = 30 Vf = 50 kHzR = 25 Ω

L_crit = µH

11.惠斯通电桥与应变片中等

一个 300 Ω 的应变片是电桥的一个臂（R₂），电桥四个臂均为 300 Ω，激励电压为 2 V。求应变片上消耗的功率 P_g，单位为 mW。自热限制了激励电压。

V_s = 2 VR = 300 Ω

P_g = mW

12.惠斯通电桥与应变片困难

某 1/4 桥有一个工作应变片（GF = 2），激励电压为 10 V。受载时输出读数为 1.25 mV。求应变 ε，单位为 µε。

V_s = 10 VGF = 2V_o = 1.25 mV

ε = µε

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15) 的最简积之和 (SOP) 形式。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15)

N =

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

对于 F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 5, 6, 8, 9, 12) + d(3, 11, 14, 15)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。

F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 5, 6, 8, 9, 12) + d(3, 11, 14, 15)

N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: V_CE = 9.451 V

BJT 静态工作点：在放大区，V_BE = 0.7 V，I_C = β·I_B，I_E = (β + 1)·I_B。用 KVL 由基极回路求 I_B，再求 I_C，然后由集电极–发射极回路求 V_CE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂)，R_TH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

分压器的戴维南等效

V_TH = 18·6.8/(56 + 6.8) = 1.949 V

R_TH = 56·6.8/(56 + 6.8) = 6.064 kΩ

基极电流

沿基极回路列 KVL；发射极电流为 (β + 1)·I_B。

I_B = (1.949 − 0.7)/(6.064 + 81·0.47) = 28.3 µA

集电极电流

I_C = 80·28.3 µA = 2.264 mA

I_E = 81·28.3 µA = 2.292 mA

集电极–发射极电压

V_CE = 18 − 2.264·3.3 − 2.292·0.47 = 9.451 V

答案

V_CE = 9.451 V

2.二极管与晶体管

答案: R_max = 800 Ω

齐纳稳压器：反向偏置的齐纳二极管在电流保持高于最小值 I_Z,min 时维持其电压 V_Z。串联电阻 R 承担输入与输出之间的差值：I_R = (V_in − V_Z)/R。该电流分给负载 I_L = V_Z/R_L 和齐纳管 I_Z = I_R − I_L。按最坏情况设计：最低输入与最大负载时仍须留有 I_Z,min，而最高输入与空载时齐纳管功率最大，P_Z = V_Z·I_Z。

最坏情况的电流

I_R = 10 + 1 = 11 mA

最大电阻

R_max = 8.8/0.011 = 800 Ω

答案

R_max = 800 Ω

3.运放电路

答案: V_out = 2.3 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 0.1 V

I = V₋/R₁ = 0.1/1 = 0.1 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = 0.1 + 0.1·22 = 2.3 V

答案

V_out = 2.3 V

4.运放电路

答案: V_out = 0.6 V

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −1/1 = −1

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 2/22 = 1.091

逐级计算

V₁ = −1·(−0.55) = 0.55 V

V_out = 1.091·0.55 = 0.6 V

答案

V_out = 0.6 V

5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 7.45 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 220 mH / 68 Ω = 3.235 ms

i(∞) = V_s/R = 15/68 = 0.2206 A

求解时间

0.9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)

t = −3.235·ln(0.1) = 7.45 ms

答案

t = 7.45 ms

6.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.872 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 24/15 = 1.6 A

i(∞) = 24/(15 + 20) = 0.6857 A

τ = L/R = 22/35 = 0.6286 ms

i(t) = 0.6857 + (1.6 − 0.6857)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(1) = 0.6857 + (0.9143)·e^−1/0.6286 = 0.872 A

答案

i = 0.872 A

7.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.239 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 8 + 20 = 28 Ω

R₂ ∥ 28 = 15·28/(15+28) = 9.767 Ω

R_eq = R₁ + 9.767 = 6 + 9.767 = 15.77 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/15.77 = 1.903 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1.903·6 = 18.58 V

I_R2 = V_A/R₂ = 18.58/15 = 1.239 A

答案

I_R2 = 1.239 A

8.串并联电阻

答案: R_eq = 11.56 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 25 + 2 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 2.7 Ω

R₃ + 2.7 = 32.7 Ω

R₂ ∥ 32.7 = 3.564 Ω

R_eq = R₁ + 3.564 = 8 + 3.564 = 11.56 Ω

答案

R_eq = 11.56 Ω

9.DC-DC 变换器

答案: I_max = 11.29 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）V_o = D·V_in，升压（boost）V_o = V_in/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：V_in·I_in = V_o·I_o。开关导通期间，电感电流上升 ΔI_L = V_L·D·T/L，其中降压变换器的 V_L = V_in − V_o，升压和升降压变换器为 V_in。输出纹波对降压变换器为 ΔV_o = ΔI_L/(8fC)，对升压和升降压变换器为 I_o·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔI_L/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 19.2/48 = 0.4

平均电流和纹波电流

I_o = 19.2/2 = 9.6 A

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 28.8·0.4/(68·10⁻⁶·50·10³) = 3.388 A

峰值电流

I_max = 9.6 + 3.388/2 = 11.29 A

答案

I_max = 11.29 A

10.DC-DC 变换器

答案: L_crit = 31.25 µH

占空比

D = 1 − 15/30 = 0.5

边界条件

令电感平均电流等于纹波电流的一半，解出 L。

L_crit = D(1 − D)²·R/(2f)

临界电感

L_crit = 0.5(1 − 0.5)²·25/(250·10³) = 31.25 µH

答案

L_crit = 31.25 µH

11.惠斯通电桥与应变片

答案: P_g = 3.333 mW

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

应变片两端的电压

V = 2/2 = 1 V

功率

P_g = 1²/300 = 3.333 mW

答案

P_g = 3.333 mW

12.惠斯通电桥与应变片

答案: ε = 250 µε

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

解 1/4 桥方程

ε = 4·0.00125/(10·2) = 0.00025

以微应变表示

ε = 250 µε

答案

ε = 250 µε

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 6

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

C′D′

BCD

AC′

A′CD

A′BD′

AB′D′

最简 SOP 形式

F = C′D′ + BCD + AC′ + A′CD + A′BD′ + AB′D′

N = 6

答案

N = 6

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 1

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

B′D, BD′, A′C′D, AC′D′, A′BC′, AB′C′

必要质蕴涵项

BD′

N = 1

答案

N = 1

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