电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
RC​ = 1 kΩβ = 150IC​ = ?VCC​ = 15 VRB​ = 470 kΩ

一只 β = 150 的 NPN 晶体管由电源 VCC = 15 V 经基极电阻 RB = 470 kΩ 偏置。集电极电阻为 RC = 1 kΩ，发射极接地。取 VBE = 0.7 V，并假设晶体管工作在放大区。 求集电极电流 IC，以 mA 计。

VCC = 15 VRB = 470 kΩRC = 1 kΩβ = 150VBE = 0.7 V
IC = mA
2.二极管与晶体管困难
RC​ = 330 Ωβ = 150IC​ = ?VCC​ = 9 V3.3 VRB​ = 22 kΩ

一只 β = 150 的 NPN 晶体管控制一个接在 VCC = 9 V 与其集电极之间的 330 Ω 负载电阻。发射极接地。基极由 3.3 V 逻辑输出经基极电阻 RB = 22 kΩ 驱动。取 VBE = 0.7 V，VCE(sat) = 0.2 V。 求输入为高电平时的集电极电流 IC，以 mA 计。先判断晶体管是否饱和。

VCC = 9 VRC = 330 Ωβ = 150Vin = 3.3 VVBE = 0.7 VVCE(sat) = 0.2 VRB = 22 kΩ
IC = mA
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 4.7 kΩR1​ = 1 kΩVin​

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±12 V。 同相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 Vin,max（峰值）。

R1 = 1 kΩRf = 4.7 kΩVsat = ±12 V
Vin,max = V
4.运放电路困难
Vin​V1​Vout​第 1 级：反相R1​ = 2 kΩRf1​ = 100 kΩ第 2 级：同相R2​ = 10 kΩRf2​ = 10 kΩ

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R1，Rf1），后接一个同相放大器（R2 接地，Rf2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。 输入为 Vin = 0.1 V。求输出电压 Vout。

R1 = 2 kΩRf1 = 100 kΩR2 = 10 kΩRf2 = 10 kΩVin = 0.1 V
Vout = V
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​9 Vt = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 4.7 kΩC33 µF+−vC​

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 60 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 9 VR1 = 1 kΩR2 = 4.7 kΩC = 33 µFt = 60 ms
vC = V
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​24 Vt = 0R = 10 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 18 V，极性如图所示。 求 t = 500 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 24 VR = 10 kΩC = 100 µFvC(0) = 18 Vt = 500 ms
vC = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 6 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩAR4​20 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 6 VR1 = 6 ΩR2 = 12 ΩR3 = 10 ΩR4 = 20 Ω
IR1 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 12 ΩIR1​R3​ = 15 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAR4​30 ΩBR6​20 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 9 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 ΩR4 = 30 ΩR5 = 5 ΩR6 = 20 Ω
IR1 = A
9.DC-DC 变换器中等
+−12 VLSCR = 4 Ω+−48 V

某理想升压变换器把 12 V 变成 48 V，负载为 4 Ω。求电感平均电流 IL。

Vin​ = 12 VVo​ = 48 VR = 4 Ω
IL = A
10.DC-DC 变换器困难
tiL​Imax​IL​DTT2T

某理想 降压 变换器在 500 kHz 下把 15 V 变成 4.5 V，负载为 25 Ω。求连续导通所需的最小电感 Lcrit。

Vin​ = 15 VVo​ = 4.5 Vf = 500 kHzR = 25 Ω
Lcrit = µH
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−6 V470 Ω470 Ω + ΔR470 Ω470 Ωab+−Vab​ = ?

某电桥的四个臂均为 470 Ω，Vs = 6 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 3.76 Ω。用小变化近似求输出 Vab，单位为 mV。

Vs = 6 VR = 470 ΩΔR = 3.76 Ω
Vab = mV
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−5 V120 Ω − ΔR120 Ω + ΔR120 Ω + ΔR120 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

某电桥的各臂为 120 Ω，激励电压为 5 V，采用 四个工作应变片，两个受拉、两个受压（全桥）。灵敏系数为 2.05，应变为 600 µε。求电桥输出 Vo，单位为 mV。

Vs = 5 VGF = 2.05ε = 600 µε
Vo = mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD00011110000111101111111

在这个卡诺图中，恰有一个 1 没有相邻的 1，所以它在最简 SOP 形式中仍是单个格子的圈（含四个文字的完整最小项）。跨越卡诺图边界的相邻关系也要计入。点选该格子。

F = Σm(0, 1, 5, 7, 10, 12, 13)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
ABCD000111100001111010111302X4X517060121130151141819011010

求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 7, 8, 9, 13, 14) + d(4, 5) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 7, 8, 9, 13, 14) + d(4, 5)
L =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: IC = 4.564 mA

BJT 静态工作点：在放大区，VBE = 0.7 V，IC = β·IB，IE = (β + 1)·IB。用 KVL 由基极回路求 IB，再求 IC，然后由集电极–发射极回路求 VCE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂)，RTH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

基极电流

IB = (VCC − VBE)/RB = (15 − 0.7)/470 kΩ = 30.43 µA

集电极电流

IC = β·IB = 150·30.43 µA = 4.564 mA

答案

IC = 4.564 mA

验算：VCE = 10.44 V 远高于 0.2 V，所以晶体管确实工作在放大区。

2.二极管与晶体管

答案: IC = 17.73 mA

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 VCE = VCE(sat)，集电极电流由负载决定：IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC。饱和至少需要 IB = IC(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，IC = β·IB。

基极电流

IB = (3.3 − 0.7)/22 kΩ = 118.2 µA

饱和还是放大？

β·IB 小于 IC(sat)，所以晶体管仍处于放大区。

β·IB = 17.73 mA
IC(sat) = (9 − 0.2)/330 = 26.67 mA

集电极电流

IC = β·IB = 17.73 mA

答案

IC = 17.73 mA

晶体管处于放大区，所以负载没有完全接通。

3.运放电路

答案: Vin,max = 2.105 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

Av = 1 + Rf/R1 = 1 + 4.7/1 = 5.7

削波前的最大输入

Vin,max = Vsat/|Av| = 12/5.7 = 2.105 V

答案

Vin,max = 2.105 V
4.运放电路

答案: Vout = −10 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

各级的增益

A1 = −Rf1/R1 = −100/2 = −50
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 10/10 = 2

逐级计算

V1 = −50·0.1 = −5 V
Vout = 2·(−5) = −10 V

答案

Vout = −10 V
5.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 6.603 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。

Rth = R1 ∥ R2 = 1·4.7/(1 + 4.7) = 0.8246 kΩ
vC(∞) = 9·4.7/(1 + 4.7) = 7.421 V

时间常数

τ = Rth·C = 0.8246·33 = 27.21 ms

充电曲线

vC(t) = 7.421·(1 − e−60/27.21) = 6.603 V

答案

vC = 6.603 V
6.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 20.36 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 10 kΩ · 100 µF = 1000 ms
vC(t) = 24 + (18 − 24)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(500) = 24 + (−6)·e−500/1000 = 20.36 V

答案

vC = 20.36 V
7.串并联电阻

答案: IR1 = 0.4118 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩAR4​20 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 10 + 20 = 30 Ω
R2 ∥ 30 = 12·30/(12+30) = 8.571 Ω
Req = R1 + 8.571 = 6 + 8.571 = 14.57 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 6/14.57 = 0.4118 A

答案

IR1 = 0.4118 A
8.串并联电阻

答案: IR1 = 0.6116 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 12 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAR4​30 ΩBR6​20 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 5 + 20 = 25 Ω
R4 ∥ 25 = 13.64 Ω
R3 + 13.64 = 28.64 Ω
R2 ∥ 28.64 = 2.716 Ω
Req = R1 + 2.716 = 12 + 2.716 = 14.72 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 9/14.72 = 0.6116 A

答案

IR1 = 0.6116 A
9.DC-DC 变换器

答案: IL = 48 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 1 − 12/48 = 0.75

负载电流

Io = 48/4 = 12 A

电感电流

IL = Io/(1 − D) = 12/0.25 = 48 A

答案

IL = 48 A
10.DC-DC 变换器

答案: Lcrit = 17.5 µH

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 4.5/15 = 0.3

边界条件

令电感平均电流等于纹波电流的一半，解出 L。

Lcrit = (1 − D)·R/(2f)

临界电感

Lcrit = (1 − 0.3)·25/(2500·10³) = 17.5 µH

答案

Lcrit = 17.5 µH
11.惠斯通电桥与应变片

答案: Vab = 12 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

相对变化

ΔR/R = 3.76/470 = 0.008

线性化输出

Vab ≈ 6·0.008/4 = 12 mV

答案

Vab = 12 mV

精确值为 11.95 mV；只要 ΔR/R 很小，这个近似就很好。

12.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 6.15 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2.05·600·10⁻⁶ = 0.00123

电桥输出

Vo = Vs·GF·ε = 5·0.00123 = 6.15 mV

答案

Vo = 6.15 mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: AB = 10, CD = 10

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

每个 1 的邻格

有相邻 1 的 1 可以加入由两个或更多格子组成的圈。

m10: m11, m8, m14, m2 → 0
ABCD00011110000111101111111

孤立的 1

m10 = AB′CD′ → AB = 10, CD = 10

答案

AB = 10, CD = 10
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 10

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

C′D, B′C′, A′D, A′C′, ABCD′
ABCD000111100001111010111302X4X517060121130151141819011010

最小覆盖

F = C′D + B′C′ + A′D + ABCD′
L = 10

答案

L = 10

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