工程数学 2：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

多元微积分

偏导数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
梯度: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向导数: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
切平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
链式法则: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
二阶导数检验: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重积分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
极坐标: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

方法

求偏导数时，把另一个变量当作常数，并使用一元函数的法则。
梯度类题目要在该点计算 ∇f = (f_x, f_y)；最陡斜率用 |∇f|，方向导数用 ∇f·u，其中 u 是单位向量。
求极值时联立求解 f_x = 0 和 f_y = 0，然后用 D = f_xx·f_yy − f_xy² 对每个点分类。
对于二重积分，画出区域草图，选择积分顺序（圆盘用极坐标），使内层积分限是边界曲线，并先算内层。

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

卷积与线性时不变系统

离散卷积: y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
连续卷积: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
长度与和: L_y = L_x + L_h − 1, Σy = Σx·Σh
起点、终点与面积: t₁ + t₃ … t₂ + t₄, ∫y = ∫x·∫h
阶跃输入到 e^(−at)u(t): y(t) = (A/a)(1 − e^−at)
一阶系统: y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e^−atu(t)
一阶递推: y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
正弦信号通过 h(t): |H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
傅里叶级数的幅值: 方波 ±A：4A/(kπ)，k 为奇数；三角波 ±A：8A/(π²k²)，k 为奇数；脉冲串：A·D 和 (2A/(kπ))|sin kπD|

方法

画出两个信号，标明各自在哪里非零。
把 h 翻转并滑动：对每个输出时刻，找出两个信号的重叠范围。
只在该重叠范围内相乘并求和（离散），或相乘并积分（连续）。
检验结果：输出从起始时间之和开始，到结束时间之和结束，其面积或和等于输入面积或和的乘积。

2练习题

1.微分方程中等

解 y″ + 5y′ + 6y = 0，其中 y(0) = 4，y′(0) = -4。求 y(1.5)。

y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 4y′(0) = -4

y(1.5) =

2.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 4y′ + 29y = 145，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

y″ + 4y′ + 29y = 145y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₂₁（第 2 行，第 1 列）。

A = [1 0; 6 3]B = [6 6; −4 3]

c₂₁ =

4.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [3 −1; 2 6]

λ =

5.向量：点积和叉积中等

求 a = (5, 3, 3) 与 b = (−2, 7, 1) 的点积 a·b。

a = (5, 3, 3)b = (−2, 7, 1)

a·b =

6.向量：点积和叉积困难

求顶点为 A(4, −2, −3)、B(4, 2, −1)、C(4, −2, 3) 的三角形的面积 A。坐标单位为米。

A(4, −2, −3)B(4, 2, −1)C(4, −2, 3)

A = m²

7.积分中等

计算 I = ∫₀¹ e^−0.5x dx。

f(x) = e^−0.5x[0, 1]

I =

8.积分困难

将直线 y = 4x 与抛物线 y = x² 之间的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体的体积 V。

y = 4xy = x²

V =

9.多元微积分中等

利用 f(x, y) = 2y·e^xy 在 (1, 0.5) 处的切平面来近似 f(1.2, 0.55)。给出线性近似值 L。

f(x, y) = 2y·e^xy(a, b) = (1, 0.5)(x, y) = (1.2, 0.55)

L =

10.多元微积分困难

f(x, y) = x³ − 12x + y² 在 (2, 0) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = f_xxf_yy − f_xy²。

f(x, y) = x³ − 12x + y²P = (2, 0)

D =

11.数列与级数中等

求和 S = Σ_k=1^∞ 4/(k(k + 4))。

a_k = 4/(k(k + 4))

S =

12.数列与级数困难

识别该级数并求它的和：S = Σ_k=1^∞ (−1)^k+1·0.5ᵏ/k。

a_k = (−1)^k+1·0.5ᵏ/k

S =

13.拉普拉斯变换中等

求 F(s) = (3s + 20)/(s² + 2s + 1) 对应的 f(t)，并计算 f(0.6)。

F(s) = (3s + 20)/(s² + 2s + 1)t = 0.6 s

f(0.6) =

14.拉普拉斯变换困难

某系统满足 y″ + 7y′ + 10y = 40·u(t)，y(0) = 3，y′(0) = 0。在 t = 0 时施加阶跃输入 u(t) = 5。用拉普拉斯变换求 y(0.6)。

y″ + 7y′ + 10y = 40·u(t)y(0) = 3y′(0) = 0u(t) = 5t = 0.6 s

y(0.6) =

15.卷积与线性时不变系统中等

脉冲 x(t) = 4（0 ≤ t < 1 s）与 h(t) 做卷积，h(t) 是一个三角形，从 t = 0 时的 4 线性下降到 t = 2 s 时的 0。求 y(t) = x(t) ∗ h(t) 下的面积 A_y。

x(t) = 4, 0 ≤ t < 1 sh(0) = 4, h(2) = 0

A_y =

16.卷积与线性时不变系统困难

输入 x(t) = 10·cos(3t) 加到 h(t) = 2·e^−2tu(t) 的系统上。求稳态输出相对于输入的相位 φ，单位为度。

h(t) = 2e^−2tu(t)x(t) = 10cos(3t)

φ = °

3溶液

1.微分方程

答案: y(1.5) = 0.3539

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

特征根

(r + 2)(r + 3) = 0 → r = −2, −3

由初值求常数

A + B = 4, −2A − 3B = -4

A = 8, B = −4

求值

y(1.5) = 8·e⁻³ + (−4)·e^−4.5 = 0.3539

答案

y(1.5) = 0.3539

2.微分方程

答案: y_max = 6.423

稳态值与根

y_ss = 5, r = −2 ± 5j

由初值求常数

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −2A + 5B = 0 → B = −2

峰值

t = π/5 = 0.6283

y_max = 5·(1 + e^−2·π/5) = 6.423

答案

y_max = 6.423

3.矩阵与行列式

答案: c₂₁ = 24

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₂₁ = 6·6 + 3·(−4) = 24

答案

c₂₁ = 24

4.矩阵与行列式

答案: λ = 5

特征方程

λ² − (9)λ + (20) = 0

求解

λ = (9 ± √(1))/2 → λ = 4, 5

λ = 5

答案

λ = 5

5.向量：点积和叉积

答案: a·b = 14

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = 5·(−2) + 3·7 + 3·1 = (−10) + 21 + 3 = 14

答案

a·b = 14

为正：两向量的夹角小于 90°。

6.向量：点积和叉积

答案: A = 12 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

边向量

AB = B − A = (0, 4, 2)

AC = C − A = (0, 0, 6)

叉积

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 4·6 − 2·0 = 24

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 2·0 − 0·6 = 0

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 0·0 − 4·0 = 0

|AB × AC| = √(24² + 0² + 0²) = 24

三角形的面积

A = ½·24 = 12 m²

答案

A = 12 m²

7.积分

答案: I = 0.7869

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = e^−0.5x/(−0.5)

代入上下限

I = (e^−0.5 − 1)/(−0.5) = (0.6065 − 1)/(−0.5) = 0.7869

答案

I = 0.7869

8.积分

答案: V = 428.9

旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。

交点

4x = 1x² → x = 0, x = 4

垫圈法

V = π∫₀⁴ ((4x)² − (1x²)²) dx

积分

V = π(16·4³/3 − 1·4⁵/5) = π·136.5 = 428.9

答案

V = 428.9

9.多元微积分

答案: L = 2.061

梯度：∇f = (f_x, f_y) 指向最陡上升的方向，|∇f| 是最大变化率。沿方向 v 的方向导数为 D_uf = ∇f·u，其中单位向量 u = v/|v|。在 (a, b) 处的切平面为 z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)；它给出 f 在该点附近的线性近似。链式法则：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

该点处的函数值与斜率

f(1, 0.5) = 1.649

f_x = 2y²e^xy → f_x(1, 0.5) = 0.8244

f_y = 2e^xy(1 + xy) → f_y(1, 0.5) = 4.946

切平面

z = 1.649 + 0.8244(x − 1) + 4.946(y − 0.5)

z = 0.8244x + 4.946y − 1.649

线性近似

L = 1.649 + 0.8244·0.2 + 4.946·0.05 = 2.061

答案

L = 2.061

精确值为 f = 2.128272；因为步长很小，平面与曲面很接近。

10.多元微积分

答案: D = 24

临界点与二重积分：临界点满足 f_x = f_y = 0。用 D = f_xxf_yy − f_xy² 做二阶导数检验：D > 0 且 f_xx > 0 为局部极小值，D > 0 且 f_xx < 0 为局部极大值，D < 0 为鞍点，D = 0 无法判断。对于一般区域上的二重积分，内层积分限取为围成该区域的曲线；对于圆盘和扇形，使用极坐标 x = r cos θ，y = r sin θ，dA = r dr dθ（不要忘了因子 r）。

二阶导数

f_xx = 12, f_yy = 2, f_xy = 0

判别式

D = 12·2 − 0² = 24

→ 局部极小值

答案

D = 24

11.数列与级数

答案: S = 2.083

部分分式

4/(k(k + 4)) = (4/4)·(1/k − 1/(k + 4))

取消

S = (4/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 2.083

答案

S = 2.083

12.数列与级数

答案: S = 0.4055

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

标准级数

Σ (−1)^k+1xᵏ/k = ln(1 + x)

代入

x = 0.5

S = ln 1.5 = 0.4055

答案

S = 0.4055

13.拉普拉斯变换

答案: f(0.6) = 7.244

拉普拉斯变换：F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt 把导数变成乘以 s：ℒ{f′} = sF(s) − f(0)，ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)。常用变换对：1 ↔ 1/s，e^−at ↔ 1/(s + a)，t·e^−at ↔ 1/(s + a)²，sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)，cos ωt ↔ s/(s² + ω²)；平移 s → s + σ 相当于把时间函数乘以 e^−σt。要对有理函数 F(s) 求逆变换，先分解成部分分式：单极点 p 的留数为 A = [(s − p)·F(s)] 在 s = p 处的值。终值定理：f(∞) = lim_s→0 s·F(s)，仅当 s·F(s) 的所有极点都在左半平面时成立。初值定理：f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)。

分解分母

s² + 2s + 1 = (s + 1)²

部分分式

3s + 20 = 3(s + 1) + 17

F(s) = 3/(s + 1) + 17/(s + 1)²

逆变换

f(t) = 3·e^−t + 17·t·e^−t

f(0.6) = (3 + 17·0.6)·e^−0.6 = 7.244

答案

f(0.6) = 7.244

14.拉普拉斯变换

答案: y(0.6) = 12.03

对方程做变换

(s² + 7s + 10)·Y(s) = 3s + 21 + 200/s

Y(s) = (3s² + 21s + 200)/(s(s + 2)(s + 5))

部分分式

A = 200/(2·5) = 20

B = 170/((−2)·3) = −28.33

C = 170/((−5)·(−3)) = 11.33

结果

y(t) = 20 − 28.33·e^−2t + 11.33·e^−5t

y(0.6) = 12.03

答案

y(0.6) = 12.03

检验：y(0) = A + B + C = 3。

15.卷积与线性时不变系统

答案: A_y = 16

连续卷积：y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ。把 h 翻转，平移到位置 t，对重叠部分的乘积积分。对因果信号，积分从 0 到 t。有用的结论：y 的面积等于 x 的面积乘以 h 的面积；若 x 持续时间从 t₁ 到 t₂，h 从 t₃ 到 t₄，则 y 持续时间从 t₁ + t₃ 到 t₂ + t₄。对于 h(t) = e^−atu(t) 和高度为 A 的阶跃，y(t) = (A/a)(1 − e^−at)。

输入的面积

∫x dt = 4·1 = 4

∫h dt = ½·2·4 = 4

输出的面积

A_y = 4·4 = 16

答案

A_y = 16

16.卷积与线性时不变系统

答案: φ = −56.31 °

冲激响应与傅里叶级数：冲激响应 h(t) 完全描述一个线性时不变系统：对于 y′ + a·y = b·x，h(t) = b·e^−atu(t)；对于 y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n]，h[n] = b·aⁿu[n]。正弦信号 cos ωt 通过系统时，增益为 |H(jω)|，相位为 ∠H(jω)，其中 H 是 h 的傅里叶变换。周期信号是频率为 k/T 的各次谐波之和：幅值 ±A 的方波只含奇次谐波，幅值为 4A/(kπ)；峰值为 A 的三角波的谐波幅值为 8A/(π²k²)；高度为 A、占空比为 D 的脉冲串，其平均值为 A·D，谐波为 (2A/(kπ))·|sin(kπD)|。

频率响应

H(jω) = 2/(2 + jω)

输入频率处的相位

φ = −atan(3/2) = −56.31°

答案

φ = −56.31°

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